Adja meg azt a harmadfokú függvényt mely - a 2x^2-y=32 görbéjét belülröl érinti az x = 0 helyen, - ezt a görbét az x=−4 helyen metszi, - ezen görbével közrezárt síkrész területe a [−4;0] intervallumon: 64/3?

A harmadfoku gorbenk erinti az y=x^2-32 gorbet, megpedig belulrol, vagyis igy fog kinezni:

f(x) = Ax^2(x+B) - 32 = Ax^3 +ABx^2 -32

A belulrol valo erintes az csak akkor fog megvalosulni, ha AB ≥ 2

A -4 helyen is metszi a parabolat:

f(-4) = 16A(B-4) -32 = 2*16-32

A(B-4) = 2

A = 2/(B-4)

A ket fuggveny kulonbsegenek az integralja:

(A/4)x^4 +(AB/3)x^3 -32x - (2/3)x^3 + 32x =

=(A/4)x^4 +(AB/3)x^3 - (2/3)x^3

-4 es 0 kozt ez az integral:

-(64*A - 64AB/3 +128/3) = 64/3

64*A - 64AB/3 +128/3 = -64/3

3A-AB +2 = -1

3A-AB = -3

De azt tudjuk, hogy A = 2/(B-4)

6/(B-4) - 2B/(B-4) = -3

6-2B = 12-3B

B=6

A = 2/(6-4) = 1

Tehat a fuggveny:

f(x) = x^3 +6x^2 -32