Kezdőoldal » Közoktatás, tanfolyamok » Házifeladat kérdések » Egy alkalmasan megválasztott...

Egy alkalmasan megválasztott koordináta-rendszerben egy üstökös pályája az y=-2x^2+8x-4 parabola egyenlettel adható meg, amelynek a fókuszában a Nap áll?

Figyelt kérdés

a)fokuszpont? ezt megtudtam oldani(amugy a kérdés a Nap kordinátái és a legkisseb távolság)

b)Az y=4x+4 egyenletű egyenes mentén egy űrszonda halad, az üstökös pályájának melyik pontjában van lehetőség arra, hogy a szonda a lehető legkisebb távolségra közelitse meg az üstököst?

c) Mekkora ez a távolság?

d)Nekkora a legkisebb távolság, amelyre az üstökös megközelítit a B(2,1) pontban lévő égitestet? Melyik pontban van ekkor?


2012. febr. 22. 17:29
 1/8 bongolo ***** válasza:

b)

A két pálya nem metszi egymást. Ahol a parabola pontja legközelebb van az egyeneshez, ott a parabola érintője pont párhuzamos az egyenessel. Vagyis abban a pontban a parabola deriváltjának a meredeksége ugyanannyi, mint az egyenes meredeksége.

A parabola egyenletének deriváltja -4x+8

Az egyenes meredeksége egyértelmű, hogy 4

-4x+8 = 4

x = 1

Itt pedig a parabola egyenletéből y=2 jön ki, tehát ez az (1;2) pont.

2012. febr. 22. 21:11
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/8 bongolo ***** válasza:

c) Pont és egyenes távolsága:

Az egyenes normálegyenlete úgy jön ki, hogy az egyenes egyenletét, ami:

4x-y+4 = 0

elosztjuk a normálvektorának a hosszával. A normálvektora (4;-1), annak hossza √(4²+1²) = √17, vagyis a normálegyenlet:


(4x-y+4)/√17 = 0


Egy pont távolsága pont annyi, mint a bal oldal értékének abszolút értéke a pont (x;y) koordinátájánál (ha ez 0 lenne, akkor a pont rajta van az egyenesen).


d = |(4x-y+4)/√17|

x=1, y=2

d = |(4-1+4)/√17| = 7/√17

2012. febr. 22. 21:20
Hasznos számodra ez a válasz?
 3/8 A kérdező kommentje:
köszi szépen:)
2012. febr. 22. 21:30
 4/8 anonim ***** válasza:

Az előző válasz utolsó sorában egy "elütés" van:

[link]

2012. febr. 22. 21:43
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/8 bongolo ***** válasza:

d) Ezt nem könnyű kiszámolni.

Egy pont (a;b) és a parabola távolsága √((x-a)²+(y-b)²) ahol y helyébe kell írni a parabola egyenletét. Szóval a távolság négyzete most ennyi a (2;1) ponttól:


d² = (x-2)² + (-2x^2+8x-4-1)²

d² = 4x^4 - 32x³ + 85x² - 84x + 29

Ennek minimuma (meg lokális maximuma) ott van, ahol a deriváltja 0. Vagyis:

16x³ - 96x² + 170x - 84 = 0

8x³ - 48x² + 85x - 42 = 0

Harmadfokú egyenletet nem könnyű megoldani, de most tudjuk, hogy a parabola "csúcsa" x=2-nél van, és mivel a pont x koordinátája is 2, nagyon valószínű, hogy x=2-nél 0 lesz a derivált. Ellenőrizzük le, tényleg 0.

Vagyis kiemelhető (x-2) a polinomból:

(x-2)(8x²-32x+21) = 0

A másodfokú tényező gyökei a megoldóképlettel:

2 ± √(11/8)

Ezeken az x pontokon van a távolságnak szélsőértéke. Ha megnézzük a derivált előjeleit mondjuk x=0, 1, 3, 4 helyeken, akkor azt látjuk, hogy negatív, pozitív, negatív, pozitív, tehát x=2-nél lokális maximuma van, 2±√(11/8)-nál pedig minimuma. Ez a két minimum azonos nagyságú (hisz a parabola szimmetrikus az x=2 tengelyre), vagyis az üstökös ebben a két pontban van legközelebb az égitesthez:

x = 2±√(11/8)

y = ... ezt meg a távolságot már nincs türelmem kiszámolni, csak be kell helyettesíteni a képletekbe :)

2012. febr. 22. 22:09
Hasznos számodra ez a válasz?
 6/8 bongolo ***** válasza:
Igaza van 21:43-nak, y=2-őt írtam aztán véletlenül 1-et helyettesítettem be. Szóval 6/√17 a távolság c)-nél.
2012. febr. 22. 22:13
Hasznos számodra ez a válasz?
 7/8 A kérdező kommentje:
igen köszönöm én is utánna számoltam és télleg 6/gyök17 lett
2012. febr. 22. 23:06
 8/8 A kérdező kommentje:
hatalmas segitség volt
2012. febr. 22. 23:12

Kapcsolódó kérdések:




Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!