Egy alkalmasan megválasztott koordináta-rendszerben egy üstökös pályája az y=-2x^2+8x-4 parabola egyenlettel adható meg, amelynek a fókuszában a Nap áll?

b)

A két pálya nem metszi egymást. Ahol a parabola pontja legközelebb van az egyeneshez, ott a parabola érintője pont párhuzamos az egyenessel. Vagyis abban a pontban a parabola deriváltjának a meredeksége ugyanannyi, mint az egyenes meredeksége.

A parabola egyenletének deriváltja -4x+8

Az egyenes meredeksége egyértelmű, hogy 4

-4x+8 = 4

x = 1

Itt pedig a parabola egyenletéből y=2 jön ki, tehát ez az (1;2) pont.

c) Pont és egyenes távolsága:

Az egyenes normálegyenlete úgy jön ki, hogy az egyenes egyenletét, ami:

4x-y+4 = 0

elosztjuk a normálvektorának a hosszával. A normálvektora (4;-1), annak hossza √(4²+1²) = √17, vagyis a normálegyenlet:

(4x-y+4)/√17 = 0

Egy pont távolsága pont annyi, mint a bal oldal értékének abszolút értéke a pont (x;y) koordinátájánál (ha ez 0 lenne, akkor a pont rajta van az egyenesen).

d = |(4x-y+4)/√17|

x=1, y=2

d = |(4-1+4)/√17| = 7/√17

Az előző válasz utolsó sorában egy "elütés" van:

[link]

d) Ezt nem könnyű kiszámolni.

Egy pont (a;b) és a parabola távolsága √((x-a)²+(y-b)²) ahol y helyébe kell írni a parabola egyenletét. Szóval a távolság négyzete most ennyi a (2;1) ponttól:

d² = (x-2)² + (-2x^2+8x-4-1)²

d² = 4x^4 - 32x³ + 85x² - 84x + 29

Ennek minimuma (meg lokális maximuma) ott van, ahol a deriváltja 0. Vagyis:

16x³ - 96x² + 170x - 84 = 0

8x³ - 48x² + 85x - 42 = 0

Harmadfokú egyenletet nem könnyű megoldani, de most tudjuk, hogy a parabola "csúcsa" x=2-nél van, és mivel a pont x koordinátája is 2, nagyon valószínű, hogy x=2-nél 0 lesz a derivált. Ellenőrizzük le, tényleg 0.

Vagyis kiemelhető (x-2) a polinomból:

(x-2)(8x²-32x+21) = 0

A másodfokú tényező gyökei a megoldóképlettel:

2 ± √(11/8)

Ezeken az x pontokon van a távolságnak szélsőértéke. Ha megnézzük a derivált előjeleit mondjuk x=0, 1, 3, 4 helyeken, akkor azt látjuk, hogy negatív, pozitív, negatív, pozitív, tehát x=2-nél lokális maximuma van, 2±√(11/8)-nál pedig minimuma. Ez a két minimum azonos nagyságú (hisz a parabola szimmetrikus az x=2 tengelyre), vagyis az üstökös ebben a két pontban van legközelebb az égitesthez:

x = 2±√(11/8)

y = ... ezt meg a távolságot már nincs türelmem kiszámolni, csak be kell helyettesíteni a képletekbe :)