Matekzsenik, Mi a képzési szabály és milyen sorozat? ( nem számtani, mértani sorozat) többi lent.

a1 = (20 - 1)

a2 = (100 - 1)

a3 = (20 + 100)/2 - 1

a3 = (60 - 1)

a4 = (60 + 100)/2 - 1

a4 = (80 - 1)

a5 = (70 - 1)

a6 = (75 - 1)

stb.

Még egy ötlet

Legyen

a = (19 + 99)/2

a = 59

akkor

a1 = a - 40

a2 = a + 40

a3 = a

a4 = a + 20

a5 = a + 10

a6 = a + 15

a7 = a + 12,5

a8 = a + 13,75

stb...

Az egyszerűbb írás miatt nevezzük az első két tagot a-nak meg b-nek.

S1 = a = 19

S2 = b = 99

S3 = a/2 + b/2

S4 = (a/2 + b/2)/2 + b/2 = a/4 + (1+2)b/4

S5 = (a/4 + 3b/4)/2 + (a/2+b/2)/2 = (1+2)a/8 + (3+2)b/8

S6 = (3a/8 + 5b/8)/2 + (a/4 + 3b/4)/2 = (3+2)a/16 + (5+2·3)b/16

S7 = (5a/16 + 11b/16)/2 + (3a/8 + 5b/8)/2 = (5+2·3)a/32 + (11+2·5)b/32

Vagyis 'a' együtthatói:

1,0,1,1,3,5,11,...

'b' együtthatói:

0,1,1,3,5,11,21,...

Már látszik valamilyen szabály a negyedik együtthatótól kezdve: az együttható az előző plusz a kettővel megelőző duplája. És az 'a' együtthatói eggyel lemaradnak a sorozatban 'b' együtthatóitól.

Nevezzük az 'a' együtthatóinak a sorozatát R-nek. Ennek ez a szabálya tehát:

R(1) = 1

R(2) = 0

a többire pedig:

R(n) = R(n-1) + 2·R(n-2)

Ha tovább nézzük az együtthatókat:

R = 1,0,1,1,3,5,11,21,43,85,171,...

Ha számolod is közben, ahogy olvasod, látni fogod, hogy amikor duplázódik a "kettővel megelőző" szám, akkor az vagy eggyel kevesebb, vagy eggyel több az "előző"nél. Vagyis az összegük az "nagyjából" duplázódik mindig, tehát 2 hatvány jellegű. A "nagyjából" az plusz vagy minusz 1-et jelent. Írjuk fel a 2 hatványok pluszminusz 1-et, hátha jön ötlet:

A 2 hatványok:

.... 2,4,8,16,32,64,128

Felváltva +1 aztán -1:

.... 3,3,9,15,33,63,129

Felváltva -1 aztán +1:

.... 1,5,7,17,31,65,127

Hoppá, a középső sor (+1 aztán -1) éppen a háromszorosa az R sorozatunknak, ha R-ből az első 2 tagot elhagyjuk! (1,1,3,5,11,21,...) Mázlink volt!

Vagyis az a megérzés, hogy R(n) értéke n ≥ 3 esetén:

R(n) = (2^(n-2) - (-1)^n)/3

(Ugye érted, miért van benne (-1)^n ?)

Ezt persze be kell bizonyítani. Teljes indukcióval biztos megy nem túl bonyolultan, most ezt nem csinálom meg, próbáld meg te.

Ha megvan a bizonyítás, akkor felírhatjuk S(n) képletét:

S(n) = (R(n)·a + R(n+1)·b)/2^(n-2)

Vagyis a 2004-edik tag:

S(2004) = ( 19·(2^2002-1)/3 + 99·(2^2003+1)/3 )/2^2002

(Egyébként mivel 1/2^2002 az gyakorlatilag 0, nagyon jó közelítéssel ez az érték (19+2·99)/3 = 72,333...)

--

Ha nem megy a teljes indukciós bizonyítás, szólj.

A generálás szabálya ez:

R(n) = R(n-1) + 2·R(n-2)

Azt akarjuk bizonyítani, hogy:

R(n) = (2^(n-2) - (-1)^n)/3

Különbontjuk a bizonyítást páros és páratlan n-ekre:

Ha n páros, ezt kell bizonyítani:

R(n) = (2^(n-2) - 1)/3

Ha n páratlan:

R(n) = (2^(n-2) + 1)/3

R(1) és R(2) még nem ezt a szabályt követi, azok kézzel vannak megadva, R(3)-tól kezdve kell bizonyítani.

Teljes indukció:

n=3-at megnézzük egyedileg, hogy 1 jön-e ki:

R(3) = (2^1 - (-1)^3)/3 = (2+1)/3 = 1 OK

Nézzük meg n=4-et is egyedileg, mert páros-páratlant külön kell kezelni:

R(4) = (2^2 - (-1)^4)/3 = (4-1)/3 = 1 OK

Most feltételezzük (indukciós feltevés), hogy 2k esetén teljesül, ahol 2k persze páros, valamint azt is, hogy 2k+1 esetén IS teljesül (2k+1 páratlan természetesen). Vagyis ez a két indukciós feltevésünk van:

R(2k) = (2^(2k-2) - 1)/3

R(2k+1) = (2^(2k-1) + 1)/3

Ezeket felhasználva be kell látnunk, hogy n=2k+2 valamint n+1=2k+3 esetén is igaz az állítás:

a) n=2k+2:

Hivatalos definíció szerint ez R(2k+2) értéke:

R(2k+2) = R(2k+1) + 2·R(2k)

behelyettesítjük a feltevéseinket:

R(2k+2) = (2^(2k-1) + 1)/3 + 2·(2^(2k-2) - 1)/3

= (2^(2k-1) + 1 + 2·2^(2k-2) - 2)/3

= (2^(2k-1) + 2^(2k-1) +1 - 2)/3

= (2·2^(2k-1) - 1)/3

= (2^(2k) - 1)/3

Ez tényleg kijött.

b) n=2k+3:

Hivatalos definíció szerint ez R(2k+3) értéke:

R(2k+3) = R(2k+2) + 2·R(2k+1)

behelyettesítjük az a) pontban kiszámolt R(2k+2)-t valamint a feltett R(2k+1)-et:

R(2k+3) = (2^(2k) - 1)/3 + 2·(2^(2k-1) + 1)/3

= (2^(2k) - 1 + 2·2^(2k-1) + 2)/3

= (2^(2k) + 2^(2k) + 2 -1)/3

= (2·2^(2k) + 1)/3

= (2^(2k+1) + 1)/3

Ez is kijött.

Kész a bizonyítás.

---

Hova jársz egyébként, honnan van ez a feladat?

Hmmm, gimiben ez elég szívatós feladat... Úgy tippelném, hogy ez valamilyen versenyfeladat volt.

Ha a tanár mond majd egyszerűbb megoldást, írd már meg, érdekelne.