Matematika feladat 10. osztály?

c^2 = x^2-13 + x^2 + 15 = 2x^2 +2

c = √(2x^2 + 2)

c = √(2x^2 + 2)= √2*√(x^2+1)

vagyis x^2+1 oszthato 2-vel.

mondjuk x^2+1=2k

x^2-13 = 2k-14 = 2(k-7)

vagyis k-7 oszthato kell legyen 2-vel.

mondjuk k-7 = 2m

2x^2+2 = 8m + 28=4(2m+7)

x^2-13 = 4m

x^2+15 = 2k+14 = 2(k+7) = 2(2m+14) = 4(m+7)

OK,

akkor most 2m+7-nek, m-nek es m+7-nek is negyzetszamnak kell lennie.

Az n. es n+1. negyzetszam kozti kulonbseg 2n+1

m es m+7 tehat csak ugy lehet negyzetszam egyszerre,

ha m=9, m+7=16

ekkor 2m+7=25 szinten negyzetszam, tehat rendben vagyunk.

2x^2+2 = 4(2m+7) = 100; c=10

x^2-13 = 4m = 36; a=6

x^2+15 = 4(m+7)=64; b=8

Szamolj utana.

Ja es meg kell x:

x^2 - 13 = 36

x^2= 49

x=7

Kicsit egyszerűbb megoldás:

a^2 = x^2-13 ; b^2 = x^2+15 tehát b négyzete 28-cal nagyobb a négyzeténél.

Legyen b=a+k-val egyenlő, ekkor b^2=(a+k)^2= a^2+2ak+k^2

a fentiek miatt 2ak+k^2=28. Mivel 2ak és 28 is páros, ezért k négyzetének is párosnak kell lenni, emiatt k-nak is.

k legkisebb értéke 2 lehet, ekkor 2a×2+4=28, ebből a=6. Ahonnan x=7 (négyzete 13-mal nagyobb anégyzeténél, tehát 36-nál), b=8 (=a+2), és c=10 (Pitagorasz-tétel)

k következő lehetséges értéke 4, ekkor 2a×4 +16 =28, de ebből a-ra nem kapunk egész megoldást, tehát nem jó.

Ha k 4-nél nagyobb páros szám (min.6), akkor a négyzete min.36, tehát nem lehetne a fenti összeg 28.

Vagyis nincs más megoldás, mint amit k=2 esetén kiszámoltunk. Baloghné Békési Beáta matektanár

Egy másik megközelítés. :-)

a² = x² - 13

b² = x² + 15

Egy kis bevezető.

Minden szám felírható két négyzetszám különbségeként

m² - n² = N

ha

N = p1*p2

ahol p1 és p2 az N komplementer osztói

akkor

(m - n)(m + n) = p1*p2

és írható, hogy

m - n = p1

m + n = p2

A kettőt összeadva

2m = p1 + p2

így

(1) m = (p1 + p2)/2

A másodikból kivonva az elsőt

2n = p2 - p1

és

(2) n = (p2 - p1)/2

Vissza a feladatra.

b² - a² = 28

(b - a)(b + a) = 28

Mivel

28 = 2*2*7

két esetet kell vizsgálni

(A) (b - a)(b + a) = 2*14

és

(B) (b - a)(b + a) = 4*7

Az (1) és (2) egyenletek szerint a komplementer osztók összege és különbsége is páros kell legyen. Ez akkor teljesül, ha a komplemeter osztók azonos paritásúak: vagy mindkettő páros, vagy mindkettő páratlan.

Ennek a feltételnek csak a

28 = 2*12

felbontás felel meg, ezért

A (A) egyenletből az (1) és (2) egyenletek szerint

a =(2 + 14)/2

a = 8

=====

b = (14 - 2)/2

b = 6

=====

A derékszögű háromszög miatt

c = 10

=====

Remélem, a tanárnő nem ad karót a megoldásomra. :-)

DeeDee

***********