Kombinatorika. Számokat képezünk az 1,2,3,4,5,6 számjegyekből. Hány olyan négyjegyű szám van, amelyekben szerepel a 3-as?

Osszesen 6^4 kulonbozo 4 jegyu szamot tudunk kepezni.

Ebbol amiben nem szerepel a 3-as 5^4 van.

Akkor olyan amiben van 3-as: 6^4-5^4 =

(36-25)(36+25) = (6-5)(6+5)(36+25) = 671 van.

Egyetlen képlettel nem lehet megoldani.

Próbálom kitalálni, hogy miért nem érted BKRS, illetve a tanárod megoldását. Meg lehetne direktben is oldani, úgy talán közelebb van a gondolatmenetedhez, de figyeld meg, hogy úgy nagyon bonyolult lenne:

- Lehet úgy kreálni a négyjegyű számot, hogy az első helyen 3-as van, utána a többi négyen nincs 3. Ehhez van képlet: 3 helyre választhatunk 5 félét (1,2,4,5,6), ismétléses variáció, ezt 5³ módon lehet csinálni.

- Aztán lehet úgy, hogy a másodikon van 3, a többin nincs. Hasonlóképpen lehet gondolkodni, mint az előbb, ebből is 5³ darab lehet. Ezt hozzá kell adni az előzőhöz.

- Aztán lehet úgy, hogy a harmadikon van 3... nem is írom tovább, ugye megvan? Ezt is hozzá kell adni az előző kettőhöz.

- ... negyedik helyen ...

- Aztán lehet úgy, hogy van az elsőn is meg a másodikon is 3. ... ez 5² darab lehet, ezt is hozzá kell adni

- ... stb.

Egy idő után belezavarodik az ember, hogy milyen esetre nem gondolt még.

Pont ezért nagyon gyakran érdemes azt a trükköt bevetni, hogy a feladat fordítottját csinálja meg az ember, és aztán ezt kivonja az összes lehetőségből. Most is ezt érdemes csinálni. Szóval mostantól olvasd figyelmesen:

Az eredeti kérdés helyett számoljuk ki azt, hogy "Hány olyan négyjegyű szám van, amelyikben NEM szerepel a 3-as?". Erre van képlet: 5 számot lehet használni (1,2,4,5,6 − vagyis a 3-at kihagytam). Mind a 4 helyre ebből az 5-ből lehet valamelyiket odatenni; ez ismétléses variáció: 5^4.

Az "összes" lehetőség pedig az, amikor mind a 6 számjegyből képezzük a négyjegyű számot. Erre is van képlet, ez is ismétléses variáció: 6^4.

Persze ez a 6^4 túl sok, mert van közte egy csomó olyan is, amiben egyáltalán nincs 3-as. Hoppá, hiszen az előbb már kiszámoltuk, hogy az meg hányféleképpen lehet!! Ha ezt levonnánk belőle, pont azt kapnánk meg, ami a feladat kérdése!

Tehát a megoldás: 6^4−5^4

Ennek az értékét legegyszerűbb számológéppel kiszámolni.

Értetted így?