SOS! Mi a megoldás, hogy kell megoldani? (oszthatóság)

Először nézzük csak az első meg az utolsó információt:

Páratlan, és 7-tel osztható, akkor ennyi: (2k+1)·7

20 méterhez max 2000/16=125 lépcsőfok mehet:

(2k+1)·7 ≤ 125

2k+1 ≤ 17

k ≤ 8

3-mal osztva 2 a maradék:

(2k+1)·7 = 3m+2

14k+7 = 3m+2

3(4k+1)+2k+2 = 3m

Vagyis 2k+2 osztható kell legyen 3-mal, tehát k+1 osztható 3-mal. k tehát 2,5 vagy 8 lehet.

5-tel osztva 4 a maradék:

(2k+1)·7 = 5n+4

14k+7 = 5n+4

5(2k)+4k+3 = 5n

Vagyis 4k+3 osztható 5-tel.

k=2: 4·2+3=11, nem osztható

k=5: 4·5+3=23, nem osztható

k=8: 4·8+3=35, jó!

Vagyis k=8, a lépcsők száma pedig (2·8+1)·7 = 119

A hatosával számlálást ki se kellett használni, de ellenőrizni kell, hogy azzal is jó-e, ezt rád bízom.

Biztos van szebb megoldás is, de az alábbi módszer is jó eredményt ad.

A feladat így is megfogalmazható

Mivel a legkisebb közös többszörös 2*3*5*7, fel lehet írni a következő egyenleteket

N = 2a + 1

N = 3b + 2

N = 5c + 4

N = 7d

Az első két egyenletből

2a + 1 = 3b + 2

2a - 3b = 1

2a - 3b = 3 - 2

2(a + 1) = 3(b + 1)

ebből

a = 3[(b + 1)/2] - 1

A zárójelben levő érték akkor egész, ha

b + 1 = 2n

ahol n pozitív egész

ezzel

a = 3n - 1

Most az első és a harmadik egyenletből

2a + 1 = 5c + 4

2a - 5c = 3

behelyettesítve 'a' értékét

2(3n - 1) - 5c = 3

6n - 2 - 5c = 3

5c = 6n - 5

c = 6(n/5) - 1

A zárójelben levő hányados akkor egész szám, ha

n = 5m

így

c = 6m - 1

Mivel

N = 5c + 4

'c' értékét behelyettesítve

N = 5(6m - 1) + 4

N = 30m - 1

A lépcsők maximális száma

N = 200/16

N = 125

vagyis

N = 30m - 1 ≤ 125

30m - 1 ≤ 125

m ≤ (125 + 1)/3

m ≤ 4,2

tehát

m = 4

Ezzel

N = 30*4 - 1

N = 119

======

DeeDee

***********

Elírás!

Ez a sor

m ≤ (125 + 1)/3

helyesen

m ≤ (125 + 1)/30

Bocs!

DeeDee

*******

Ha hatodikos vagy, akkor csináld így:

Hátulról érdemes elkezdeni olvasni, hogy miket tudunk:

Mivel 20 méternél (ami 2000 cm) nem magasabb, lehet maximum 2000/16 = 125 lépcsőfok.

- Ha 7-esével nem marad semmi, akkor 7-tel osztható. Tehát ezen számok közül valamelyik:

7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119

- Most előlről: Ha kettesével 1 marad, akkor páratlan kell legyen. A fentiek közül tehát ezek maradnak:

7 21 35 49 63 77 91 105 119

- Ha 3-masával 2 marad, akkor 2-őt levonva 3-mal osztható kell legyen. Másként fogalmazva: 1-et hozzáadva 3-mal osztható kell legyen. Vagyis 1-et hozzáadva a számjegyek összege 3-mal osztható kell legyen. Ezek maradnak:

35 77 119

- Ha 5-ösével 4 marad, akkor 1-et hozzáadva 5-tel osztható lesz. Ez már csak egy számra igaz a fenti háromból:

119

A 6-osával való információt is meg kell nézni, hátha nincs egyáltalán megoldás. Ha 6-osával 5 marad, akkor 1-et hozzáadva osztható kell legyen 6-tal. Vagyis páros kell legyen és osztható kell legyen 3-mal. Ellenőrizd le, olyan.