Matek Háromszög Terület számítás?

A besatirozott terulet az a kor folotti resz terulete gondolom.

Akkor a legegyszerubb megoldas szerintem, ha kiszamolod annak a haromszognek a teruletet amit a haromszoged felso scucsa es a kornek a szarakkal valo erintesi pontjai alkotnak,

es ebbol kivond azt a terluetet amit a kor kivag belole.

A kor altal kivagott teruletet meg ugy szamithatod ki, hogy kiszamitod a megfelelo korcikk teruletet es kivonod belole annak a haromszognek a teruletet aminek a kivonasa utan pont a kersett terulet marad meg.

Mondjuk ABC az eredeti haromszog, az egyenlo szarak kozti csucs mondjuk C, az alapon van A es B

A haromszoget a kor D,E,F pontokban erinti, D es E van a szarakon, F az alapon.

A kor kozeppontja O

Akkor a terulet amit keresel:

T=T(CDE) - T(DE korszelet) = T(CDE) - (T(ODE korcikk) - T(ODE haromszog) ) =

= T(CDE haromszog) + T(ODE haromszog) - T(ODE korcikk)

Ezeknek a kiszamitasahoz kell segitseg?

Na akkor az elozo jelolesekkel (keszits abrat, hogy tudd kovetni)

ABC a nagy haromszog, a kor kozeppontja O,

A kor az AB oldalt F

BC oldalt: E

CA oldalt D pontokban erinti.

a haromszog magassaga atmegy a kor O kozeppontjan mert a haromszog egyenlo szaru.

Ez az m magassag: pitagorasz tetellel szamolhato:

m^2 + FA^2 = AC^2

m^2 + (a/2)^2 = b^2

m^2 + 100 = 900

m^2 = 800

m = 20√2

T(ABC haromszog)=ma/2 = 20*20√2 /2 = 200√2

Az DEC haromszog hasonlo az ABC haromszoghoz.

Erinto szakaszok leven AF=AD

DC = DA - AD = b-(a/2) = 30-10=20.

A ket haromszog kozotti aranyossagi tenyezo tehat 20/30 vagyis 2/3

Az ABC haromszog terulete 200√2,

Akkor a DEC haromszog terulete

T(CDE haromszog) = 200√2 * (2/3)^2 = 200√2*(4/9) = 800√2/9

Na ezt egyszer huzd ala, mint reszlet szamitasi eredmenyt, kesobb meg kelleni fog.

A CDE haromszog alapja a DE szakasz

DE = 20*2/3 =40/3 a hasonlosag alapjan.

A DE szakasz az ODC derekszogu haromszog derekszogehez tartozo magassaganak a ketszerese, ez a magassag tehat n=20/3 hosszu.

ez amagassag hasonlo haromszogekre bontja a haromszoget, irjunk fel egy ilyen hasonlosagot:

n/OD = DC/OC

n=OD*DC/OC

n^2 = OD^2 * DC^2 /OC^2

n^2 = OD^2 * DC^2 /(OD^2 +DC^2)

n^2 OD^2 + n^2 DC^2 = OD^2*DC^2

OD^2(n^2-DC^2) = -n^2*DC^2

OD^2 = n^2DC^2/(DC^2-n^2) = (20/3)^2 * (20^2) / (20^2 - (20/3)^2)) = 50

OD = 5√2

Tehat a beirt kor sugara 5√2 hosszu.

Ezt is huzd ala, tedd el kesobbre.

A haromszog A pontjanal levo szoge:

alfa = 2*asin(10/30) = 0.679673819 radian

Ennek megfeleloen az

DOE szog Pi-alfa = 2.46191883 radian

A DOE korcikk terulete: R^2*2.46191883/2 = 50*2.46191883 = 61.5479709.

Ezt is huzd ala, es tedd el kesobbre. Majd meg hasznaljuk.

Kell meg a DEF haromszog terulete.

Alapja mondjuk DE=40/3.

a magassaga pedig az ABC haromszog magassag - a DEC haromszog magassaga = 20√2 - 20√2*(2/3) = 20√2/3

Tehat a DEF haromszog terulete:

40/3 * 20√2/3 *(1/2) = 400√2/9

A bevonalkazott terulet:

DEC haromszg terulet + DEO haromszog terulete - DOE korcikk terulete = 800√2/9 + 400√2/9 - 61.5479709 = 127.013837

Na azert ezt szamold at, lehet benne szamolasi hiba, de nagyjabol ez lenne a szamolas menete.

Egy másik számítási menet

a = 20

b = 30

t = ?

A keresett terület a deltoid és a körcikk területének különbsége

t = Td - Tc

A CDOE deltoid területe

Td = r(b - a/2)

A méretek miatt

b - a/2 = a

így

Td = r*a

A körcikk területe

Tc = r²*2α/2

Tc = r²*α

A keresett terület

t = Td - Tc

t = r*a - r²*α

t = r²(a/r - α)

Jön egy kis átalakítás

A sugár az ATO háromszögből

r = (a/2)*tg(α/2)

ebből

a/r = 2/tg(α/2)

a/r = 2*ctg(α/2)

ezekkel

t = r²(2*ctg(α/2) - α)

kiemelés után

t = 2*r²[ctg(α/2) - α/2]

=================

Mivel

tg(α/2) = √[(1- cosα/(1 + cosα)]

és

cosα = a/(2b) (az ATC háromszögből)

így

tg(α/2) = √[(2b - a)/(2b + a)]

Kihasználva a méreteket. Mivel

2b - a = a

2b + a = 4a

ezért

tg(α/2) = 1/√2

ctg(α/2) = 1/tg(α/2)

ctg(α/2) = √2

és a sugár

r = (a/2)*tg(α/2) =a/(2√2)

Mindezek után a terület

t = 2*r²[ctg(α/2) - α/2]

t = 2*(a²/8)(√2 - α/2)

t = (a²/4)(√2 - α/2)

t = 100(√2 - α/2)

============

A szög

α = arccos(a/2b)*π/180

α ≈ 1,23 rad

Így a terület

t = 100(√2 - 1,23/2)

t ≈ 80

=====

DeeDee

**********