Hogyan kell megoldani ezt a matekfeladatot?

(2k+1)^2-1=(4k^2+4k+1)-1=4k^2+4k=4k(k+1)

Ez a 4-es szorzó miatt biztosan osztható 4-gyel, tehát már csak egy 2-t kell találnunk. Ha észrevesszük, hogy k és k+1 közül az egyik biztosan páros, már meg is van.

a 8-cal oszthatóság azt jelenti, hogy a kifejezés = 8x, ahol x egész szám lesz. (mert 8x osztható 8-cal)

Tehát:

(2k+1)^2-1 = 8x, ebből azt kell kihozni valahogy, hogy ha k egész szám, akkor x is egész.

Egyszerűsíteni próbáljuk az egyenletet:

4k^2+4k = 8x

k^2+k = 2x

k(k+1) = 2x

Itt már csak azt kell belátni, hogy 2-vel osztható kell legyen a bal oldali kifejezés, mert akkor lesz x egész szám. k(k+1)-ben a szorzat egyik tényezője mindenképp páros szám, tehát osztható 2-vel.

kijött, hogy a fenti cucc egyenlő 4k(k+1) gyel.

Ez pontosan akkor osztható 8cal, ha k(k+1) osztható 2vel (hiszen pont a 4szerese ennek).

Ez volt az a logikai lépés, amit nem értettél gondolom.

1.

Ha egy szám 6-ra végződik, akkor minden pozitív egész hatványa is 6-ra végződik.

Ha egy szám 2-re végződik, akkor minden (4k-2). hatványa 4-re végződik. (k pozitív egész)

6+4=10

2.

Vegyük észre, hogy mindhárom alap 3-mal osztva 1 maradékot ad. Minden ilyen szám bármely nemnegatív egész hatványa is 3-mal osztva 1 maradékot ad.

1+1+1=3