Valszám feladat segítség kéne?!
Lehet, hogy zeta volt az?
ζ = 2ξ+3
Nem tudom, kell-e a teljes levezetés, vagy csak a vége, hogy ζ is egyenletes eloszlású. A levezetés:
Tudjuk, hogy az egyenletes eloszlásnál:
ξ eloszlásfüggvénye Fξ(x) = P(ξ ≤ x):
Fξ(x) = 0, ha x < 0
Fξ(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1
Fξ(x) = 1, ha 1 < x
ξ sűrűségfüggvénye:
fξ(x) = 1 a [0;1] intervallumon, 0 máshol
(Egyébként f(x) = dF(x)/dx)
Tudjuk azt is, hogy:
várható érték: E(ξ) = 1/2
szórás: D(ξ) = 1/√12
A keresett ζ eloszlásnál:
ζ eloszlásfügvénye:
Fζ(y) = P(ζ ≤ y) = P(2ξ+3 ≤ y) = P(ξ ≤ (y-3)/2)
Fζ(y) = Fξ((y-3)/2)
vagyis
Fζ(y) = 0, ha y < 3
Fζ(y) = (y-3)/2, ha 3 ≤ y ≤ 5
Fζ(y) = 1, ha 5 < y
ζ sűrűségfüggvénye:
fζ(y) = d/dy Fζ(y) = d/dy Fξ((y-3)/2) = 1/2·fξ((y-3)/2)
vagyis
fζ(y) = 1/2 a [3;5] intervallumban, 0 egyébként
Tehát ζ is egyenletes eloszlású a [3;5] intervallumon.
Akkor pedig várható értéke és szórása:
E(ζ) = (3+5)/2 = 4
D(ζ) = (5-3)/√12 = 2/√12
(de ki is lehetett volna integrálni őket...)
Kovarianciájuk:
cov(ξ, 2ξ+3) = cov(ξ, 2ξ) = 2·cov(ξ,ξ) = 2·D²(ξ) = 2/12
Korrelációjuk (ugye az akar lenni az r?)
corr(ξ,ζ) = cov(ξ,ζ)/(D(ξ)·D(ζ)) = (1/6)/((1/√12)(2/√12)) = (1/6)/(2/12) = 1
Még 1 kérdés amit nem értek,
A feladat, Legyen kszí egyenletes eloszlású a (0,4pí) intervallumon. Adjuk meg a zeta=sin(kszí) eloszlásfüggvényét.
Nincs levezetés de a végeredményben a -1,1 intervallumra az jön ki hogy pí+2arcsinx/2pí. Nem értem hogy lett a szinusból itt arcsinx!
Hasonlóan megy, mint az előbbi leképzésnél:
ζ = sin(ξ)
ζ a [-1;1] intervallumon vehet fel értékeket
Fζ(y) = P(ζ ≤ y) = P(sin(ξ) ≤ y)
y<-1 esetén sin(x)<y sosem teljesül, aminek valószínűsége 0
y>1 esetén mindig teljesül, P(y ha y>1)=1
Köztük:
sin(ξ) ≤ y hol teljesül?
Rajzold fel a sin(x) függvényt 0-tól 4π-ig (két teljes ciklus lesz), és húzz be egy vízszinteset valahová, az lesz az y.
Ahol a sin(x) görbe a vízszintes alatt megy, ott színezd be valami más színnel a görbét. Azok a szakaszok érdekelnek minket.
Nézzük először pozitív y esetére:
Ahol először metszi a vízszintes a sin(x)-et, az itt van:
x = arc sin(y)
Tehát 0 és arcsin(y) között teljesül az egyenlőtlenség, meg aztán egy ugyanilyen hosszú szakaszon π-től visszafelé (vagyis π-arcsin(y) és π között), aztán a teljes π hosszú szakaszon, ahol sin(x) negatív. A másik perióduson (2π és 4π közötti) ez a szekvencia ismétlődik ugyanígy.
Mennyi mindennek a valószínűsége? Mivel ξ egyenletes, ezért P(sin(ξ)≤y) meg fog egyezni a megtalált szakaszok hosszának és a teljes hossznak (4π-nek) a hányadosával. Ez pedig:
P = (arcsin(y) + arcsin(y) + π + arcsin(y) + arcsin(y) + π) / 4π
P = (2·arcsin(y) + π) / 2π
Negatív y esetén először itt metszi a vízsintes a sin görbét: (y abszolút értékével kifejezve)
π + arcsin(|y|)
Negatív y esetén arcsin(y) negatív szám, ezért ez így írható:
π - arcsin(y)
A második metszet 2π-től visszafelé ugyanilyen távolságra van, tehát a szakasz hossza:
π - 2·arcsin(|y|)
ami abszolút érték nélkül:
π + 2·arcsin(y)
A második perióduson ugyanígy adódik a hossz, szóval azt kapjuk, hogy negatív y-okra is pont ugyanaz lett a valószínűség képlete, mint pozitívakra.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!