Valaki segítene a matek házimban?

Kiszámoltam manuálisan is, de nincs kedvem bepötyögni, inkább beírtam wolframba az alapfüggvényeket, hogy te is lásd.

2.: [link]

1.: [link]

1)

Normal allasu harmadfoku fuggveny tehat 2 helyen lesz a derivalt 0, es ha ez a ketto nem esik egybe akkor a baloldalinal lesz a lokalis max, a jobboldalinal a lokalis minimum.

Ezeket az ertekeket meg ossze kell hasonlitani az ertelmezesi tartomany vegpontjaiban felvett ertekekkel hogy meg tudd allapitani hol van a globalis max es min.

Egy masik megoldasi mod:

f(x) - N = 2x^3 + 6x^2 -90x+7-M

Nezzuk ez hol 0.

Olyan M-eket kerseunk ahol ket zerus hely egybe esik,

vagyis a fuggveny 2(x-a)(x-b)^2 alaku lesz.

2x^3 + 6x^2 -90x+7-M = 2(x-a)(x-b)^2

2x^3 + 6x^2 -90x+7-M = 2(x-a)(x^2-2bx+b^2)

2x^3 + 6x^2 -90x+7-M = 2x^3 -2(a+2b)x^2+2(2ab+b^2)x -2ab^2

Igazabol az M ertek csak azert kell, hogy a minimumot es a maximumot meghatarozzuk, a minimum es a maximum helyet az x=b pontoknal lesz.

6=-2(a+2b)

-90 = 2(2ab+b^2)

7-M=-2ab^2

a+2b = -3

2ab+b^2 = -45

2ab^2 = M-7

a=-3-2b

2(-3-2b)b+b^2 = -45

2(-3-2b)b^2 = M-7

6b + 3b^2 = 45

7-6b^2 - 4b^3 =M

(3b-9)(b+5)=0

7-6b^2 - 4b^3 =M

Tehat

b1=3, M1= -119

b2=-5 M2= 357

Mindketto az ertelmezesi tartomanyban van, pontosabban:

Az x=-5 ponttol kezdve a fuggveny lefele ereszkedik az x=3 pontig, ahonnan felfele megy, tehat a jokis lokalis maximumot az x=-5 pontban meg tonkreteheti az x=4-ben velvett ertek. De halistennek nem teszi:

f(4) = -89.

Persze ha tudsz derivalni, akkor az egesz szamitas sokkal egyszerubb:

f'(x) =6x^2 + 12x -90 = 6(x+5)(x-3)

ami akkor 0 ha x=-5 vagy x=3. s akkor innentol ugyanaz mint a b meghataraozasa utan volt az elozo megoldasban.

2)

Eleg pozitiv x-eket vizsgalni, mert f(x) az origora szimmetrikus: f(-x) = -f(x)

A szamtani es mertani kozep kozti osszefuggest hasznalva pozitiv x-ekre:

f(x) = 2x+9/x = (4x + 18/x)/2 ≥ √(2x*18/x)=6

es egyenloseg akkor all fenn ha a ket tag megegyezik:

4x=9/x

x^2=9/4

x=3/2

Itt a pozitiv oldalon a fuggvenynek lokalis minimuma van f(3/2) =6 ertekkel.

A szimmetria miatt az x=-3/2 helyen lokalis maximuma lesz f(-3/2)=-6 ertekkel.

Derivalva ez egy kicsit talan macerasabb, de nem sokkal.

Hopsz, a masodikat elszamoltam ket helyen is.

Akkor meg egyszer:

f(x) = 2x+9/x = (4x + 18/x)/2 ≥ √(4x*18/x)=6√2

es egyenloseg akkor all fenn ha a ket tag megegyezik:

4x=18/x

x^2=9/2

x=3/√2

Itt a pozitiv oldalon a fuggvenynek lokalis minimuma van f(3/√2) =6√2 ertekkel.

A szimmetria miatt az x=-3/√2 helyen lokalis maximuma lesz f(-3/√2)=-6√2 ertekkel.

Az első feladatban a minimum x=3 helyen y= - 155. A többi nagyon alapos leírás. Én inkább csak rajzoltam:

[link]