Hogy tudom ezt teljes indukcióval bizonyítani?

Kb. sehogy.

(-1)^k értéke 1 vagy -1.

Szorzat pedig akkor és csak akkor 0, ha az egyik tényezője 0. Következésképpen (n alatt k) értékének kellene 0-nak lennie, de ez soha nem lesz 0.

Azért, mert elegánsan eltüntetted a szumma jelet :D Így már mindjárt más az egész...

Nézz utána, hogy mit jelent a szumma jel, utána ha átgondolod, ki fog jönni.

Az indukciós feltevés könnyű. :) Tegyük fel, hogy igaz n-re, ekkor szumma (-1)^k *(n alatt k) = 0 teljesül. Most azt kell vizsgálni, hogy n+1-re is teljesül-e?

Vagyis igaz-e, hogy szumma (-1)^k *(n+1 alatt k) = 0?

no igen. szerintem ezt eleve nem teljes indukcióval kellene bizonyítani.

egyébként az (n+1 alatt k)-s tagot véleményem szerint nem hozzáadni kellene, hanem az eredeti kifejezésben minden n-t "lecserélni" n+1-re, de ebben nem vagyok biztos.

Talán azt az azonosságot kell majd belevarázsolni, hogy (n+1 alatt k+1) = (n alatt k) + (n alatt k+1)

n=1-re beláttad, hogy igaz.

Indukciós feltevés is jó:

k=0..n Σ(-1)^k·(n alatt k) = 0

kifejtve:

(n alatt 0) - (n alatt 1) + ... ± (n alatt n)

A ± páros n esetén +, páratlankor -

Nézzük n+1-re:

k=0..n+1 Σ(-1)^k·(n+1 alatt k) = ?

kifejtve:

(n+1 alatt 0) - (n+1 alatt 1) + ... ± (n+1 alatt n) ∓ (n+1 alatt n+1)

A ± ugyanúgy van, mint az előbb, a ∓ meg pont fordítva.

Tudjuk, hogy:

- (n+1 alatt 0) = (n alatt 0) = 1

- (n+1 alatt n+1) = (n alatt n) = 1

- k≠0 és k ≠ n+1 esetén: (n+1 alatt k) = (n alatt k-1) + (n alatt k)

Vagyis a kifejtett tagok így is írhatóak:

+(n+1 alatt 0) = 0 ............ + (n alatt 0)

-(n+1 alatt 1) = -(n alatt 0) - (n alatt 1)

+(n+1 alatt 2) = +(n alatt 1) + (n alatt 2)

-(n+1 alatt 3) = -(n alatt 2) - (n alatt 3)

...

±(n+1 alatt n) = ±(n alatt n-1) ± (n alatt n)

∓(n+1 alatt n+1) = ∓(n alatt n) + 0

Ha összeadjuk a jobb oldali első tagokat, az indukciós feltétel miatt 0 lesz az eredmény. Hasonlóképpen a második tagok összege is 0, tehát készen vagyunk a bizonyítással.