Valaki tud segíteni ezekben a példákban nagyon szépen kérem?

Derivalni tudsz?

1) [link]

f(x) = 2x^2 -10x + 5 ; x∈ [0,6]

f(x) egy normal allasu parabola mert az x^2 egyutthatoja pozitiv. Ennek megfeleloen csak az intervallum vegpontjaiban lehet maximuma.

f(x) = (2x -√15 -5)(2x +√15 -5)/2

Tehat a minimuma az x=5/2 pontban van.

mivel az x=5/2 egyenesre szimmetrikus, es az egyenes baloldalan monoton csokkeno mig a jobboldalan monoton novekvo, ezert a maximuma meg az x=6 pontban van, mert az van tavbolabb a vegpontok kozul a 5/2-tol.

f(x) maximuma tehat 17

minimuma pedig -15/2

Derivalva is kell?

f(x) = (3x+8)/(5x+2)

x ∈ R\{-2/5}

A=-2/5

f(x) = (3/5)(x+8/3)/(x+2/5) = 3/5 + (8/3-2/5)/(x+2/5) =

f(x) = 3/5 + (34/15)*1/(x+2/5)

Ez nem mas mint az 1/x fuggveny 34/25-del szorozva, eltolva balra 2/5-del es felfele 3/5-del.

Mivel mindezek a transzformaciok a meredeksegen nem valtoztatnak a gorbe minden olyan intervallumon amelynek minden pontjan ertelmezve van szigoruan monoton csokkeno.

f(x) = x^2 * e^(8x)

f(x) = 0 ha x =0, es mindenhol mashol pozitiv.

Ha x>0 akkor mind az x^2 mind az e^(8x) fuggveny monoton novekvo, ezert a szzorzatuk is monoton novekvo.

Vagyis B=0,

[B,∞) intervallumon a fuggveny monoton novekvo

[A,B] intervallumon monoton csokkeno

(-∞,A] intervallumon monoton novekvo lesz,

a kerdes mar csak mi lesz A.

f'(x) = 2x*e^(8x) *(1+4x)

vagyis A = -1/4.

f(x) = 7x + 7*x^(-1)

A fuggveny ket paratlan fuggveny osszege, ezert maga is paratlan. Eleg tehat a pozitiv oldalt vizsgalni, a negativ oldal az origon keresztul szimmetrikus lesz ra. Tehat ha talalunk egy szelsoerteket az x pontban, akkor -x pontban egy ellentetes ertelmu szelsoertek lesz.

Mivel 7x es 7/x is pozitiv hasznalhatjuk a szamtani es mertani kozep kozti osszefuggest:

f(x) = 7x + 7/x =14(x+1/x)/2 ≥ 14√(x*1/x) = 14 es egyenloseg pontosan akkor all fenn, ha x=1/x vagyis x=1.

Tehat az x=1 pontban helyi minimuma van a fuggvenynek f(1) =14

az x=-1 pontban pedig helyi maximuma f(-1) = -14

5)

f(x) = (5x+9)e^(2x)

Ez egy kituno ellenpelda egy korabbi allitasomra miszerint monoton novekvo fuggvenyek szorzata monoton lenne, ugyanis az x=-2,3 pontban van egy minimuma.

Ja igen, mielott osszezavarnalak teljesen:

monoton novekvo pozitiv fuggvenyek szorzata monoton novekvo.

Ennel a fuggvenynel: f(x) = x^2 * e^(8x) csak a monotonitast emlitettem a pozitiv oldalon, ezert a pozitiv oldalon a monotonitas bizonyitasa hianyos volt, azt is hozza kellett volna tennem, hogy nyilvan x^2 is meg e^(8x) is pozitiv a pozitiv oldalon. Mellesleg a negativ oldalon is pozitivak, ott a bonyodalom onnan jon, hogy az x2 monoton csokkeno mig az e^(8x) monoton novekvo.