Valaki segítene ezekben a példákban?

f(t) = t√(4-t); t∈[-1,3]

f'(t) = √(4-t) + t* (-1/(2√(4-t))

Mikor lesz f'(t) = 0

√(4-t) -t/2√(4-t) = 0

2(4-t) - t = 0

8 -2t - t = 0

3t = 8

t = 8/3

Meg kell nezni f'(t) elojelet 8/3 elott es utan.

Mivel f'(t) folytonos az ertelmezesi tartomanyunkon ezert az elojele ugyanaz mindenhol 8/3 elott illetve utan, tehat eleg egy alkalmas erteket behelyettesiteni.

f'(0) = 2>0

tehat ha t<8/3 akkor f'(t) pozitiv, vagyis f novekvo

f'(3) = √(4-3) -3/2√(4-3)=1-3/2 = -1/2 <0

tehat ha t>8/3 akkor f'(t) negativ vagyis f csokkeno.

t=8/3-nal van tehat a maximuma.

a minimuma pedig csak az intervallum egyik vegpontjaban lehet mivel mashol nem 0 a derivaltja.

Ezt behelyettesitessel kell megnezni:

f(3) = 3*√(4-3) = 3

f(-1) = -1*√(4+1) = -√5

Tehat a globalis minimuma t=-1 erteknel van.

g(s) = 1/(s-2); s∈[0,1]

Ez egy hiperbola, tehat derivalas nelkul is lehet tudni, hogy a minimuma 1-ben, a maximuma 0-ban van,

derivalassal igy nez ki a megoldas:

g'(s)= -1/(s-2)^2 <0 mert egy szam negyzete nem negativ, annak a reciproka pozitiv ha ertelmezve van, aminek a -1-szerese pedig negativ.

Tehat ha csokkeno akor az intervallum bal vegpontjaban van a maximum, a jobb vegpontjaban van a minimum.

f(x) = -x^2 + 3x; x∈[1,3]

f(x) = x(3-x) forditott allasu parabola, aminek a zerohelyei a 0 es 3 pontban vannak, tehat a maximuma x=1,5 pontban a minimuma pedig az x=3 pontban van.

Ha a parabolak nem szimpatikusak, akkor lehet derivalni is:

f'(x) = -2x + 3

-2x+ 3 = 0

x = 3/2

A -2x + 3 egy ereszkedo egyenes, tehat

f'(x) <0 ha x > 3/2

f'(x)>0 ha x < 3/2

vagyis az x=3/2 pontban maximum van.

Az intervallum vegpontok behelyettesitesenel kiderul, hogy x=3-ban van a minimum (ott 0 a fuggveny az 1-ben meg pozitiv)

f(x) = x^3 + 9x^2 -1008x + 8

f'(x) = 3x^2 + 18x -1008

masodfoku megoldokeplettel megtalalod hol 0.

Aztan megnezed milyen az f'(x) elojele az intervallumokon amikre a zerus helyek osztjak az ertelmezesi tartomanyt.

Ezt kell kapnod (ha jol szamoltam):

A fuggveny novekvo ha x ∈(-∞, -√345 -3)

illetve ha x∈(√345 -3, +∞)

A fuggveny csokkeno: (-√345 -3, √345 -3) intervallumon

Ennek megfeleloen lokalis max van a -√345 -3 helyen

f(x) = -2x^3 + 1,23x^2 +141,174x -7,75

f'(x) = -6x^2 + 2,46x + 141,174

megoldas menete mint az elozonel.

Masodfoku megoldo keplettel megkapod, hogy

x=-4,65 es x=5,06 pontoknal 0 a derivalt.

Ez egy forditott allasu parabol, tehat a derivalt pozitiv a zerok kozott es negativ azokon kivul.

Vagyis

(-∞, -4,65): a fugveny csokkeno

(-4,65; 5,06) a fuggveny novekvo

(5,06; ∞) a fuggveny csokkeno.

Tehat a lokalis maximum a -4,65 pontban van.

f(x) = x^3 - (3/2)x^2; x∈[-1, 2]

f(x)=x^2(x-3/2)

Tehat x=0-ban lesz egy lokalis maximuma es a (0,-3/2) kozott lesz egy lokalis minimuma.

Nezzuk a derivalosdit:

f'(x) = 3x^2 -3x (megint parabola)

3x^2 - 3x = 0

3x(x-1) = 0

tehat az x=0 es x=1 pontban lesz f'(x)=0

Ha x<0 f'(x) > 0

ha 0<x<1 akkor f'(x)<0

ha x>1 akkor f'(x) <0

lokalis max: x=0 es x =2

lokalis min: x=-1 es x=1

A globalis max es min ertekeket a lokalis ertekek meghatarozasabol lehet megkapni. Helyettesitsed be a 4 erteket, nezd meg hol a legnagyobb es hol a legkisebb a fugveny.

f(x) = 5-6x^2 forditott allasu parabola x∈[-3,1]

az x^2 fuggvenybol ugy szarmnaztathato, hogy 6-tal megszorzod, tukrozod az x tengelyre, eltolod felfele 5-tel.

Tehat a maximuma az x=0 pontban lesz, es ez a maximum f(0)=5

A minimuma meg a -3-ban minvel az y tengelyre szimmetrikus.

f(-3) = -49

f(x) =3x^(2/3) -2x ; x∈[-1,1]

ami valoszinuleg trukk kerdes, mert 2/3-dik hatvany negativ szamokra nem ertelmezett, mindenesetre csinaljunk ugy, mintha lenne ertelme a kerdesnek.

f(x) = x^(2/3)*(3-2x^(1/3))

Vagyis lesz egy 0 helye x=0-ban, meg x = 27/8-ban, ami kiesik az ertelmezesi tartomanyunkbol, mindenesetre a ket zerushely kozott pozitiv a fuggveny, azokon kivul negativ, ahol meg nincs ertelmezve ott csinaljunk ugy mintha negativ lenne. Vagy ne. Rad bizom. A [0,1]-en tutira lesz egy maximuma ezek szerint, amugy meg a franc tudja, attol fugg hogy ertelmezed a 2/3-os hatvanyt.

f'(x) = 2x^(-1/3) -2 vagyis x = 1-ben lesz 0.

Namost ha a 2/3-ik hatvany az egy pozitiv szam, akkor a 0-ban lesz a minimuma es a -1-ben a global max,

ha a 2/3-ik hatvany az egy negativ szamot ad negativ szamokra, akkor meg a +1-ben lesz a global max es a -1-ben a global minimum.