Matekból. Másodfokú egyenletek?

ezt nem kiemeléssel kell megoldani szerintem. egyébként nem tudom, hogy mivel lehetne.

[link]

itt van a megoldása, de igazából ebből nem derül ki

Valószínűnek tartom, hogy elírtad az egyenletet. A második tag ugye nem 2x^5, hanem 2x^3 ?

A megoldás menete ettől egyébként nem függ, csak éppen most köbbel szimpatikusabb eredmények fognak születni, mint ötödik hatvánnyal.

Szóval az ilyen magas fokú egyenleteket nem lehet zárt formában megoldani (valójában harmad meg negyedfokút meg lehet, de nagyon durva a megoldás. Ötödfokút már nem is lehet.) Olyan esetre viszont van nem túl bonyolult megoldás, ha a gyökök egész számok.

Egyrészt lehet találgatni, és a matekórán feladott feladatoknál ez sokszor bejön. Van viszont normálisabb megoldás is:

Tegyük fel, hogy egészek a gyökök, most mondjuk a négy gyök x₁, x₂, x₃, x₄. A kifejezés ekkor ez lesz:

(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)(x-x₄) = 0

Itt most kihasználtam, hogy jelen esetben a legmagasabb kitevőjű tag együtthatója 1. (1·x^4)

Ha ezt beszoroznánk, lenne egy csomó x hatványokat tartalmazó tag, és a végén ott lenne egy x nélküli szám, ami x₁·x₂·x₃·x₄

Vagyis a konstans tagnak osztói a gyökök.

Jelen esetben a konstans tag 3, osztói 1 és 3, a gyököket tehát 1,-1,3,-3 között kell keresni (már ha tényleg van egész gyöke).

Ezek után ki kell próbálni mind a négyet.

1: nem jó

-1: jó!

3: jó!

-3: nem jó

Vagyis találtunk 2 gyököt. A kifejezés tehát így néz ki:

(x+1)(x-3)(...) = 0

A (...) részt polinom osztással tudjuk meg:

(x+1)(x-3) = x²-2x-3

Osztani ugyanúgy kell, mint ahogy nagy számokat is osztunk papíron, csak éppen most x-ek is vannak benne:

x⁴-2x³-2x²-2x-3 : x²-2x-3 = x² és még marad valami

(x²-2x-3)·x² = x⁴-2x³-3x², tehát a maradék x²-2x-3

x³-2x-3 : x²-2x-3 = 1

Tehát az osztás eredménye x²+1 lett. Vagyis a teljes egyenlet:

(x+1)(x-3)(x²+1) = 0

A maradék 2 gyököt már az x²+1=0 másodfokú egyenletből tudjuk megcsinálni a megoldóképlettel. Erre jelenleg az jön ki, hogy nincs több valós megoldás. (Ha tanultatok a komplex számokról, akkor tudod, hogy +i és -i a két képzetes megoldás.)

---

Megjegyzés:

Ha a legmagasabb kitevőjű tag együtthatója nem 1, akkor tört gyököket érdemes keresni (tehát nem csak egészeket).

Ha pl. 2x⁴+...+3=0 lenne az egyenlet, akkor 3/2 "osztóit" kellene kipróbálni:

±1/2, ±1, ±3/2, ±3