Ezeket a feladatokat hogy kell megcsinálni (matematika)?

3. feladat legkisebb nem legnagyobb,

es ez nyilvan 0 lesz az elfajult esetben amikor min a harom egy pontra esik.

Ez az elfajult eset azonban nem kozelitheto meg valodi haromszogekkel.

Valodi haromszogekkel az az alfajult eset kozelitheto meg,amikor mondjuk A=B vagy B=C es C es A kulonbozo oldalon fekszenek.

Ekkor a hataresetb tetszolegesen jol megkozelitheto es a kerulet 2AC hosszusagu lesz, ez az ertek azonban valodi haromszoggel nem lesz felveheto.

Azert csak szamoljuk ki mi ez a minimalis hatareset kerulet:

haromszog egyenlotlenseg miatt az amikor a C a(0,1,0) pontban van. Ekkor a tavolsag (1/4+1)^1/2 = √5/2

Ennek ketszerese √5.

---

Namost ha megszoritjuk a B es C pontok elhelyezkedeset ugy, hogy

A(0.5, 0, 0)

B(0,1,z) z∈[0,1]

C(1,y,1) y∈[0,1]

akkor ezek is kitero eleken lesznek, es a tavolsagok osszege:

K(y,z) = √(1/4 + 1 + z^2) + √(1 +(1-y)^2 +(1-z)^2 ) + √(1/4 + 1 + y^2)

K(y,z) = √(5/4 + z^2) + √(3 -2y -2z + y^2 + z^2) + √(5/4 + y^2)

dK/dz = z/√(5/4 + z^2) + (z-1)/√(3 -2y -2z + y^2 + z^2)

dK/dz = 0

z/√(5/4 + z^2) + (z-1)/√(3 -2y -2z + y^2 + z^2) =0

z√(3 -2y -2z + y^2 + z^2) = (1-z)√(5/4 + z^2)

Negyzetre emelve mindket oldalt es osszevonva az azonos tagokat, ha jol szamolom:

a negyedikenes es kobos tagok kiesnek,

y^2 -1/2y -21/4 - 20/z + 5/(2z)^2 = 0

(y-1/2)^2 + 5*(1-2/z)^2 = 0

akkor 0, ha

y=z=1/2

hmmmm... kellett volna elvileg kapni egy megoldast 1 folott is....

Valamit elszamohattam...

Na akkor megegyszer az utolso esetet, amikor:

A(0.5, 0, 0)

B(0,1,z) z∈[0,1]

C(1,y,1) y∈[0,1]

K(y,z) = AB + AC + BC = K(y,z) = √(1/4 + 1 + z^2) + √(1 +(1-y)^2 +(1-z)^2 ) + √(1/4 + 1 + y^2)

K(y,z)/3 = (√(5/4 + z^2) + √(3 -2y -2z + y^2 + z^2) + √(5/4 + y^2))/3

a szamtani kozep a mertani kozepnel:

K/3 ≥ ∛((5/4 + z^2)*(3 -2y -2z + y^2 + z^2)*(5/4 + y^2)) ≥ ∛ 5/4*1*5/4)=∛(25/16)

es a szelso erteket akkor veszi fel, ha z=1/2 es y=1/2

Tovabba:

Egyenloseg akkor all fenn a jobb es baloldal kozott, ha az egyes tagok egyenloek:

(5/4 + z^2) = (3 -2y -2z + y^2 + z^2) = (5/4 + y^2)

(5/4 + z^2) = (5/4 + y^2)

vagyis y=z (mert nem lehetnek negativak)

3-2z-2z+2z^2 = 5/4 +z^2

z^2 - 4z +7/4 = 0

z=0 vagy z= 7/4

na most mar elegedett vagyok, kaptunk egy rossz megoldast is.

Tehat y= z =1/2 eseten all fenn a szelsoertek.

Az utolso megoldasnal fontos, hogy

f ≥ g ≥ C

eseten ha f(v) = g(v) = C

akkor v vektornal egy minimuma van f-nek.

ha itt az lett volna,

hogy

f ≥g≥C es

f(v)=g(v) es

g(w)=C

akkor semmit nem tudnank meg az f minimumarol, csak azt hogy nem nagyobb C-nel.