Algebrai törtek összevonása! Hogyan kell?

Közös nevezőre kell hozni. Mindegyik feladat úgy van kitalálva, hogy a közös nevezőhöz nem kell mind a 3 nevezőt összeszorozni. Nézzük pl. az a)-t:

a)

Ha a második és harmadik tag nevezőjét, vagyis (a²+a+1)-et és (1-a)-t összeszorozzuk, (1-a³)-t kapunk. Ez az első tag nevezőjének a minusz egyszerese. Tehát lehet mondjuk az (1-a³) a közös nevező.

Ekkor az első tag számlálója: (4a²-3a+5)·(-1)

a második tag számlálója: (1-2a)·(1-a)

a harmadik tag számlákója: 6·(a²+a+1)

Ezeket kell kifejteni, aztán összeadni a megfelelő előjellel (ami a törtek között van):

Az első és a harmadik egyértelmű, a középső:

(1-2a)(1-a) = 1-2a - a(1-2a) = 1-2a-a+2a² = 2a²-3a+1

Az összes számláló:

(-4a²+3a-5) - (2a²-3a+1) + (6a²+6a+6)

= -4a²+3a-5 -2a²+3a-1 +6a²+6a+6

= 12a

a többi (másodfokú és konstans) tag kiesett.

Tehát az összevont tört:

12a/(1-a³)

Ezt nem is lehet tovább egyszerűsíteni, készen vagyunk.

A többit is hasonlóan kell megoldani. A c)-nél van egy kis trükk, mindjárt mondom.

A c)-nél nem egyszerűen az van, hogy két tag nevezőjének a szorzata pont a harmadik tag nevezője (vagy annak negáltja). Itt kicsit többet kell trükközni.

Biztos tanultatok néhány nevezetes szorzatot, itt azokat az összefüggéseket kell használni:

Első tag nevezője: a²-2a+1 = (a-1)²

Második tag nevezője: a²-1 = (a+1)(a-1)

Harmadik tag nevezője: a²+2a+1 = (a+1)²

Ezeket a nevezetes szorzatokat (meg a többit is, amit tanultatok) oda-vissza fejből kell tudni, mert sok feladatnál lesz rá szükséged.

Ha most megnézed a nevezők fenti szorzat alakját, az látszik, hogy a legkisebb közös nevező (a+1)²·(a-1)²

A számlálók ekkor:

Az elsőt (a+1)²-tel kel szorozni, a másodikat (a+1)(a-1)-gyel, a harmadikat (a-1)²-tel:

(3a+2)(a+1)² - 6(a+1)(a-1) - (3a-2)(a-1)²

Ennek neki kell esni, kifejteni az összeset, aztán összevonni, figyelve az előjelre. Unalmas munka, de csináld végig. Ez jön ki: 10a²+10

Az egész összevont tört tehát:

10(a²+1) / ((a+1)²·(a-1)²)