Ha a, b, c>0, mutassuk ki, hogy1/ (a^3+b^3+abc) +1/ (b^3+c^3+abc) +1/ (c^3+a^3+abc) < vagy egyenlő 1/abc. Hogy oldjam meg ezt a feladatot?

Eleg bebizonyitani arra az esetre, ha abc=1, mert pozitiv konstanssal osztva a,b,c mindegyiket ugyanaz marad az egyenlotlenseg.

Jeloles:

A=a^3

B=b^3

C=c^3

Az egyenlotlenseg igy fog kinezni:

1/(1+A+B) + 1/(1+B+C) + 1/(1+A+C) ≤ 1

(1+B+C)(1+A+C) + (1+A+B)(1+A+C) + (1+A+B)(1+B+C) ≤ (1+A+B)(1+B+C)(1+A+C)

1 + A + B + 2C + AB + AC + BC + CC +

1 + B + C + 2A + BC + BA + CA + AA +

1 + C + A + 2B + CA + CB + AB + BB ≤

1 + 2A + 2B + 2C + ... (szamold ki a jobb oldal felbontasat)

rendezz mindent a jobb oldalra,

az ABC ertekek helyere irj be 1-et,

emelj ki (A+B+C)-t es ezt kapod:

3 ≤ (A+B+C)(AB+BC+CA-2)

Azt viszont tudjuk, hogy:

(ABC)^1/3 ≤ (A+B+C)/3

valamint

(ABC)^1/3 ≤ ((AB+BC+AC)/3)^1/2

valojaban az is igaz, hogy:

(ABC)^1/3 ≤ ((AB+BC+AC)/3)^1/2 ≤ (A+B+C)/3 , de ez ugy tunik nem kell a feladat megoldasahoz.

Igy viszont:

3 ≤ (A+B+C)*1 ≤ (A+B+C)*(AB+BC+CA-2)