Hogy kell kiszámolni ezt a 3 határértékes feladatot?

1)

A számláló 3n³(1 - 2/(3n) + 1/(3n³)), amiben a zárójeles rész 1-hez tart, tehát csak a 3n³ az érdekes. A nevezőben hasonlóképpen csak a -4n² lesz az érdekes (azt kiemelve a zárójeles rész megint csak 1-hez tart).

Azoknak a hányadosa meg -3n/4, ami mínusz végtelenhez tart.

2) n tart a végtelenhez

lim (1+4/n)^(100+2n)

A 100 nem sok vizet zavar, ez lesz belőle:

lim (1+4/n)^100 · lim (1+4/n)^(2n)

az első tag pedig 1^100, vagyis 1.

Marad ez:

lim (1+4/n)^(2n)

Az 1+4/n ugyanúgy viselkedik, mint az (1+1/n)^4, hisz ez az utóbbi kifejtve ez lesz:

1 + 4/n + 6/n² + 4/n³ + 1/n^4

amiből csak a 4/n "számít", a hatványos 1/n-ek nagyon picik.

Szóval ez lett:

lim (1+1/n)^(8n) = (lim (1+1/n)^n)^8

Ez pedig e^8

3) x tart 0

lim (e^(2x)-1)/(x^3+6x)

Ez 0/0 típusú határérték, nézzük meg a L'Hospital szabállyal.

Számláló deriváltja: 2e^(2x)

Annak értéke 0-nál: 2

Nevező deriváltja: 3x^2+6

Értéke 0-nál: 6

Vagyis a tört határértéke 1/3