Legyen f (x) ∈ Z[x]. Igazoljuk, hogy ha f (1+√2) = 0, akkor f (1−√2) = 0. Segítség?

Legyen:

h(x)=x^2-2x-1=(x-(1+√2))(x-(1−√2))

Euklideszi algoritmus szerint (maradekos osztas elve)van olyan q es r polinomok Z[x]-ben, hogy f=qh+r es r foka alacsonyabb h fokanal.

f(1+√2)=0=q(1+√2)*h(1+√2)+r(1+√2)=q(1+√2)*0+r(1+√2)=r(1+√2)

tehat r fokszama alacsonyabb mint g fokszama, vagyis elso vagy 0 foku, tovabba (1+√2) helyen 0 az erteke.

Tehat r(x)=0

f=q*h

viszont h(1-√2)=0,

vagyis f(1-√2)=q(1-√2)h(1-√2)=0.