Éveleji matekfeladat megoldása?

Nekikezdeni szerintem úgy kell, hogy

Ha az alap egyik oldala 'a', akkor a másik 4/a, a test magassága 'b'. Az élek össz hossza:

4a +4*4/a+4b=40. Ebből

b = 10 - a - 1/(4a). Ezzel felírtam a felszínt:

Az alap + fedőlap= 8

A = 8 + 2*a*b + 2*4/a*b

b-t behelyettesítve, kapok egy függvényt, ezt deriválom és megkeresem a függvény szélsőértékeit.

(Jól hangzik, de még nem vagyok kész vele. Azt látom, hogy a=1 és a=4 a két szélsőértékhely. Ott a felszín 58 területegység. Bocs, ha tévedek!)

Az első válasz végeredménye jó, de hiányzik a deriválás levezetése. Géppel csináltad?

És b képletében 1/(4a) helyett 4/a kellett volna, de az csak egy átmásolási hiba lehetett.

Én így csinálnám meg:

Odáig OK, hogy

b = 10-a-4/a

és a felszín:

A = 8 + 2·a·b + 2·4/a·b

Most érdemes kicsit trükközni: emeljük ki 2b-t:

A = 8 + 2b(a + 4/a)

és nevezzük el az 'a+4/a' kifejezést mondjuk x-szel:

A = 8 + 2bx

b = 10-x

Ezzel a felületre nem túl bonyolult képlet jön ki:

A = 8 + 20x - 2x²

kicsit átalakítva:

A = 58 - 2(x-5)²

Deriválni sem kell, látszik, hogy x=5-nél van a maximum, aminek értéke 58. (Azért ott van a maximum, mert (x-5)² tuti pozitív vagy 0, és akkor vonunk le a legkevesebbet 58-ból, ha 0 az az érték.)

x=5 pedig:

a+4/a = 5

a²-5a+4 = 0

ennek a=1 illetve a=4 a megoldása

Ja, a megoldás lemaradt:

A téglatest oldalai 1, 4 és 5 egység hosszúak, felülete 58 négyzetegység.

A levezetés közben néha fejben átugrottam lépéseket, ha valahol nem tiszta, kérdezz rá.

Első válaszoló vagyok.

Bocsánat az elgépelésért!

A deriválást nem géppel csináltam, de a negyedfokú egyenlet megoldásához már segítséget kértem a géptől. Innen a jó eredmény és a hiányos magyarázat.

A második válaszban szereplő megoldás egyszerűen lenyűgöző, nagyszerű. El nem tudom képzelni, hogy hogyan jut valakinek ez eszébe?! Minden esetre gratulálok.

Még egyszer az első vagyok:

Most sikerült feltennem a számítógéppel segített, "kincstári" megoldás képét:

[link]