A következő matematikai példára ötletem sincs, megoldanátok, és leírnátok hogy miért?

Először egy tanács: Így kellett volna felírnod:

³√(20+14√2)+³√(20-14√2)

(nem a ³√ meg √ jelölés miatt írom, az lehet "köbgyök" megy "gyök" is ahogy írtad, hanem a zárójelek a fontosak!)

Elég bonyolultan tudom csak megoldani:

Nevezzük el az első tagot a-nak, a másodikat b-nak, kíváncsiak vagyunk x=a+b-re

Néhany dolgot könnyen ki tudunk számolni:

a·b = ³√(400-392) = ³√8 = 2

Ez eddig biztató!

A másik:

a³+b³ = 40

Ezek után próbálkozzunk (a+b)³-nel:

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ = a³+b³ + 3ab(a+b)

vagyis mivel a+b = x a keresett érték:

x³ = 40 + 3·2·x

Tehát

x³-6x-40 = 0

Ennek a harmadfokú egyenletnek a megoldása lesz x.

Hanyadikos vagy? Gimiben nem szoktak harmadfokú egyenleteket megoldani.

Az ilyen egyenleteknek van egy valós és két komplex megoldása, most a valós az érdekes egyedül. Végülis azt néhány próbálkozással is ki lehet számolni, 4 lesz.

Szóval ez a ronda köbgyökös összeg valójában 4.

Nem lehet, hogy csak ennyi lett volna a feladat

[link]

Csináltam hozzá egy billentyűzet driver-t. De erről a honlapról is lehet nagyon sokfélét (baromi sok félét) másolni egyesével:

[link]

(egérrel kijelölöd a táblázatban a betűt, nem az entity kódot, aztán control C, control V)

Másik megoldás:

Bonyolultabb az előzőnél, de érdekes eredményt ad.

Nézzük csak az egyik tagot, és próbáljuk más alakra hozni:

³√(20+14√2) = a+b√2

Hátha sikerül ezt ilyen alakra hozni. Természetesen fel lehet így írni (és bármi más alakban is), csak az a meg b nem biztos, hogy szép egész számok. Hátha mázlink van és egészek lesznek. (Van esélyünk arra, hogy működik így a dolog, mert √2 hatványai vagy egészek, vagy √2 többszörösei.)

Emeljük köbre és vonjuk össze amiket lehet:

20+14√2 = a³+6ab² + (3a²b+2b³)√2

Vagyis ez az egyenletrendszerünk lesz:

(1) a³+6ab² = 20

(2) 3a²b+2b³ = 14

Mondjuk (1)-ből fejezzük ki b-t és helyettesítsük (2)-be:

√((20-a³)/(6a))·(3a²+(20-a³)/(3a)) = 14

Emeljük négyzetre. A nevezőben is a³ lesz, érdemes bevezetni egy új változót rá:

x = a³

(20-x)(8x+20)²/(54x) = 196

átrendezve lesz ebből egy harmadfokú egyenlet:

(3) -8x³+120x²-573x+1000 = 0

Szerencsére nem kell teljesen megoldani ezt az egyenletet, csak azt keressük, hogy van-e egész megoldása. Könnyen belátható, hogy ha van, akkor az az x osztója kell legyen a nulladfokú tagnak, tehát 1000-nek.

1000 = 2³·5³

Ráadásul mi nem is x-re, hanem a-ra keresünk egész megoldást, x=a³, tehát a lehetséges köbszám osztók nem is olyan sokan vannak:

x: 1³, 2³, 5³, 10³

Ezeket be kell helyettesíteni (3)-ba, hátha valamelyik tényleg kielégíti. Mázlink van, x=8 (a=2) megoldása (3)-nak!

(1)-ből a=2-vel b=1 jön ki, tehát ezt az érdekes azonosságot kaptuk:

³√(20+14√2) = 2+√2

Ez idáig már izgalmas :) Most vegyük észre, hogy (1)-ben b-nek csak páros, (2)-ben pedig páratlan hatványai szerepelnek, ezért negatív b esetén (1) változatlan marad, (2) pedig minusz 14-gyel teljesül. Vagyis az is igaz, hogy

³√(20-14√2) = 2-√2

Ennek a kettőnek az összege pedig 4.