Hogyan is van ez a trigonetrikus összefüggés?

Létezik ilyen, ahogyan írtad is, egy derékszögű háromszögben sin(alfa) = cos (béta)-val, illetve sin (béta) = cos (alfa). Ha belegondolsz, akkor ugye a szinusz az a szöggel szemközti befogó per az átfogó, és ami az egyik szöggel (alfával) szemközti, az a másik (béta) melletti lesz és a szög melletti befogó osztva az átfogóval az pontosan a koszinusz.

összefoglalva:

legyenek egy derékszögű 3szög oldalai és a szögei:

'a'-befogó, amellyel szembeni szög alfa

'b'-másik befogó, mellyel szembeni szög béta

'c'-átfogó, ami a derékszög.

Ekkor:

sin(alfa) = a/c ----> cos (béta) = a/c amiből látható, hogy egyenlő a kettő.

Remélem nem voltam túl szájbarágós és érthető volt.

Ha jól értem,(lehet hogy nem) neked arra van szükséged, hogy a sin-t átírd cos-ra és fordítva. Az úgy tudod megtenni, hogy pí/2-vel eltolod +, vagy - irányba attól függöen, hogy sin-t akarsz cos-á átírni, vagy fordítva.

Tehát ha sin(alfa)= cos (béta) azt úgy tudom átírni, hogy sin (alfa) = sin (pí/2-béta) ekkor már mindkettő sin és elhagyható, tehát az egyenlet alfa=pí/2-béta lesz.

A sin-t is átírhatod cos-ra, ekkor: cos (pí/2-alfa)= cos (béta), amikor is mindkettő cos, tehát szintén elhagyható az egyenlet ekkor pí/2-alfa=béta, ami átrendezés után ugyan az mint az első esetben.

Remélem tudtam segíteni, de azért belinkelem ide a wikipediás linket, ahol megvan az összes trigonometrikus összfüggés. Kicsit sok így ömlesztve de szerintem megtalálod amit keresel.

[link]

Az általad írt példát én a következőképpen oldanám meg sinx = sin(x+ pí/3):

A sin (x+pí/3) - ra alkalmazom az alábbi azonosságot:

sin(a+b)=sin(a)*cos(b)+cos(a)*sin(b) amiből a következő jön ki:

sin (x+pí/3) = sin(x)*cos(pí/3)+sin(pí/3)*cos(x)

a sin(pí/3)-at és a cos(pí/3)-at ki tudom számolni

sin(pí/3)=gyök(3)/2

cos(pí/3)=0,5

ekkor az egyenlet: sin(x)=0,5*sin(x)+gyök(3)/2*cos(x)

átrendezve:

sin(x)/cos(x)=gyök(3) ----> ami: tg(x)=gyök (3) amiből az x=60 +/- k*pi, mert a tangens az pí szerint periódikus, nem 2*pi szerint.