Oldjuk meg a z*z (negálva) +z - (10 + i) = 0 egyenletet? Kérhetném lépésről lépésre?

Gondolom amikor inverzet írtál fentebb, akkor a konjugáltra gondoltál. Aminek a jele az, hogy egy vonalat húzúnk a z fölé. Ha nem, szólj.

z-t írjuk fel algebrai alakban:

z = a + b·i

z konjugáltja (z*-gal jelölöm az egyszerűség kedvéért):

z* = a - b·i

Az egyenlet:

(a + b·i)(a - b·i) + (a + b·i) - (10 + i) = 0

beszorozva:

a²+b² + a+b·i = 10 + i

(Egyébként valószínű tanultátok is, hogy z·z* = |z|² = a²+b², de beszorzással gyorsan kijön, hisz i·i=-1)

Kicsit átzárójelezem, hogy a megoldás jobban látszódjon:

(a²+b²+a) + (b)·i = (10) + (1)·i

Ebből két dolog is látszik, ha párosítod az együtthatókat a bal és jobb oldalon:

a²+b²+a = 10

b = 1

vagyis

a²+a+1 = 10

a²+a-9 = 0

megoldóképletből:

a1 = (-1 + √37)/2

a1 = (-1 - √37)/2

Vagyis a megoldás, mivel b=1:

z1 = (-1 + √37)/2 + i

z2 = (-1 - √37)/2 + i