Segítene valaki ebben a matekfeladatban?

Gondolom így kell megoldani (ebből kell kiindulni):

1) x² + 2*x – 3 > 0; x² - 2*x + 8 > 0;

2) x² + 2*x – 3 < 0; x² - 2*x + 8 < 0;

Kiszámítjuk az x1, x2 gyököket úgy, mintha erről lenne szó: x² + 2*x – 3 = 0 (mind a négy esetben külön-külön). Utána azt, hogy melyek azok az x értékek, amelyek esetén érvényes a egyenlőtlenség (ez az x1, x2 értékeknél vagy nagyobb, vagy kisebb lesz, az x1, x2 értékek lesznek a határértékek, amik éppen nem esnek bele a megoldásba).

Az ilyen jellegű feladatoknál a legjobb szerintem azt csinálni, hogy szorzattá alakítjuk a számlálót is meg a nevezőt is, és utána egy számegyenes fölé felírod az összes tagot, hogy mikor pozitívak, mikor negatívak. Valahogy így:

(kamu kifejezésekkel most)

(x-8) -------------o++++++++++

(2-x) +++++++o----------------

(x+1) ----o+++++++++++++++++++

stb.

Pl. az x-8 esetében 8-nál van a karika, mert x=8-nál lesz az értéke nulla. Tőle jobbra (vagyis x>8-nál) pozitív, balra negatív. A 2-x-nél fordítva, a 2-től balra lesz pozitív, stb.

Mindegy, hogy egy tag a számlálóban vagy a nevezőben van, az előjelet ugyanúgy befolyásolják. Arra persze vigyázni kell, hogy a nevező nem lehet nulla, úgyhogy a nevezőben lévő tagoknál érdemes lyukas karikát tenni arra az x-re, amikor 0 lenne az értéke, a számlálóban lévőhöz meg teli karikát. (Én itt most nem tudtam teli karikát írni a billentyűzeten)

Amikor minden felrajzoltál, akkor a számegyenesen ahol páros darab mínusz van, ott lesz a teljes kifejezés pozitív, ahol páratlan, ott negatív. Ahol van teli karika, ott lesz 0, ahol van üres karika, ott nincs értelmezve.

Az adott esetben a szorzattá alakítás:

számláló:

x² - 2x - 3 = (x-1)² - 4 = (x-3)·(x+1)

nevező:

x² + 2x + 8 = (x+1)² + 7 : nem lehet szorzattá alakítani, mert négyzet plusz valamennyi a kifejezés.

Ha nem lehet szorzattá alakítani, akkor vagy mindenhol pozitív, vagy mindenhol negatív. Ez éppen pozitív.

Szóval most csak az (x-3) meg az (x+1) előjeleit kell a számegyeneshez odarajzolni, de ha akarod, a nevezőt is odaírhatod csupa +++-szal az egyértelműség kedvéért.

Most akkor vessük össze az előző hozzászólásomban közölteket meg a „bongoló“-ét:

x² + 2*x – 3/(x² – 2*x + 8) –1)*

A számláló:

x1, x2 = [–b±√(b²–4*a*c)]/(2*a)

x1, x2 = {–2±√[2²–4*1*(–3)]}/(2*1), ebből:

x1, x2 = 1, -3

A nevező:

x1, x2 = {–(–2)±√[(–2)²–4*1*8]}/(2*1), ebből:

x1, x2 = itt komplex szám jön ki, úgyhogy nincs megoldása (D<0)

Amúgy a megoldás az lett volna, hogy kiírjuk az (x–x1)*(x–x2) = 0 képlet alapján :

(x–1)*(x+3)/[(x–x1)*(x–x2)] > 0;

Aztán ennek az alapján szépen felírogatjuk az egyes eseteket, amikor a tört értéke nagyobb mint nulla, pld:

1) x–1 > 0; x+3 > 0; x–x1 > 0; x–x2 > 0; ebből meghatározzuk, hogy milyen intervallumban kell az „x“ értékének lennie, ahhoz hogy ez teljesülni tudjon

2) x–1 < 0; x+3 < 0; x–x1 < 0; x–x2 < 0; ebből megint meghatározzuk, hogy milyen intervallumban kell az „x“ értékének lennie, ahhoz hogy ez teljesülni tudjon

A további eseteket (kombinációkat) szintén így és aztán az összesítés adja meg a végeredményt.

rudolf.th, ne haragudj, pont az volt a lényeg abban, amit íram, hogy nem kell szisztematikusan felirogatni, hogy egyik eset, másik eset, negyedik eset, stb. Egyszerűen rá kell nézni a számegyenesre és fölötte a minuszjelekkel írt vonalakra, és ahol egymás alatt páros számú minuszos vonal van (a 0 is páros), ott lesz a tört pozitív. Sokkal egyszerűbb, gyorsabb és biztonságosabb, mint felírni minden eset kombinációját.

A szorzattá alakítás mehet úgy is, ahogy te írtad, vagyis a másodfokú egyenlet megoldóképletével, de sokszor érdemes kicsit nézegetni a kifejezést, és a teljes négyzetté alakítás módszerével gyorsan kijön, hogy minek is a szorzata az. De igaziból nem ez a lényeg, ha valakinek kézreállóbb a megoldóképlet, csinálja azzal, de utána ezzel a minuszos vonalas trükkel meg lehet spórolni a sokféle kombináció szisztematikus felírását.

@bongolo

Az első nekifutásra nem értettem meg a Te módszered, csak azt, hogy a szorzattá alakításon van a lényeg és ennek az alapján már én is föl tudtam vázolni az én megoldásomat, ami az első hozzászólásom alkalmával még nem sikerült, mert akkor még csak azt tudtam, merre kell elindulni (ill. miből). Most már értem a Tiédet is, jobban megnéztem hogy szóltál. Valóban jóval egyszerűbb.