Trigonometria feladat. Segítesz?

Szerintem ha az alaphoz tartozó magasságot rajzolod be, attól nem lesz könnyebb.

Az egyik szárhoz tartozó magasságot rajzold be, annak a hosszát ki fogod tudni számolni a területből. Ha megvan ez a hossz, akkor nézd meg a rajzodon, hogy a sin alfa mit is jelent (alfa legyen a neve a két egyforma hosszú szár között lévő szögnek). Szóval sin alfa-hoz meglesz minden adatod, ebből alfa kijön.

El tudsz idáig jutni, vagy kell segítség? Próbáld azért magadtól ezeket kiszámolni...

(Körök sugara majd utána)

Jól számoltad.

Egyébként abból, hogy körök sugara is kérdés, arra gondolok, hogy esetleg más megoldást vár a tanár a szögek kiszámolására is. Tanultatok olyat, hogy T=1/2 a*b*sin gamma? Ha igen, akkor ebből gyorsabban kijön a két szár által közrezárt szög, hisz a=b=10, T=22,5 ismertek.

Köré írt kör: Tanultátok a szinusztételt? A háromszög oldalai hosszának aránya megegyezik a szemben lévő szögek szinuszainak arányával. a/b = sin alfa / sin beta. Máshogy felírva: a/sin alfa = b/sin beta = konstans. És tanultátok, hogy ez a konstans a háromszög köré írható kör sugarának a duplája? Ha igen, ez alapján ki tudod számolni a sugarat. Ha nem tanultátok, szólj.

Beírt kör: Nézd meg ezt a rajzot:

[link]

A beírt kör középpontja a szögfelezők metszéspontja, az O pont. Onnan merőleges a "c" oldalhoz, a P pontban metszi. Az OP hossza természetesen r lesz, ami a beírt kör sugara. A P pont a c oldalt x és y szakaszokra metszi.

x/r = ctg alfa/2

y/r = ctg beta/2

Mindkét kotangenst ki tudod számolni, mert a szögeket már tudod.

x/r + y/r = (x+y)/r = c/r

ezért

c/r = ctg alfa/2 + ctg beta/2

r = c / (ctg alfa/2 + ctg beta/2)

c is ismert persze, így megvan a beírt kör sugara is. Nem tudom, tanultatok-e egyszerűbbet, nekem most nem jut más eszembe.

Látom, jó megoldás született, de ... ez a feladat megoldásának csak a fele! :-)

Én másképp indultam el

Mivel a terület ismert, de a számításához szükséges két adat ismeretlen, ezért elvileg végtelen számú szorzat adhatja ki a T értékét. A lehetőségeket az korlátozza, hogy szóba jöhető egyelő szárú háromszögek szára adott érték.

Fel lehet írni két egyenletet

T = a*m/2

b² = (a/2)² + m²

Ebből egy negyedfokú egyenlet adódik, amit helyettesítéssel meg lehet oldani.

A megoldás KÉT valós gyök, tehát két háromszögnek kell léteznie!

A fenti egyenletrendszer gyökei között érdekes összefüggések látszottak, az értelmezésükhöz az egyik válaszoló szögekkel történő megoldása adta.

Lásd a következő ábrát.

[link]

Beugrott, hogy

sinα = sin(180 - α)!

Hol helyezkedik el a (180 - α) szög?

Felrajzolva a háromszöget, és az egyik szárat meghosszabbítva előállt a kérdéses szög.

A meghosszabbításra rámérve a szár hosszát, majd az így keletkező pontot összekötve az alap másik pontjával, azonnal előállt a két megoldás!

A sárgával jelölt háromszög ugyanúgy kielégíti a feladat feltételeit, mint a kék színű!

A rajzból látszanak azok az összefüggések, melyek már az egyenletrendszernél is feltűntek, csak nem voltak ennyire nyilvánvalók.

A kék háromszög alapja a1, magassága m1, a sárga alapja 2*m1, a magassága (a1)/2, a szárak mindkét háromszögnél az adott 'b' hosszúságúak, vagyis

a2 = 2*m1

m2 = (a1)/2

A szárszög meghatározását az egyik válaszoló jól leírta, aminek alapján ki is számoltad a szöget.

Kellene még az alap (a1) és a magasság (m1) értéke.

Egyéb adat híján szögfüggvényeket kell használni.

Nem szeretem azt a módszert, mikor egy nem pontos szögnek a felével kell tovább számolni - a1 = 2*b*sin(α/2) - , ezért

szívesebben alkalmazom a koszinusz tételt (nem tudom, tanultátok-e már), ami a jelen esetben a következő egyszerű formájú lesz:

a1 = b*√[2(1 - cosα)]

Az alap (a1) ismeretében a magasságot (m1) a legegyszerűbb a területképletből kiszámítani

m1 = 2T/a1

Az a1 és m1 ismeretében már a sárga - nevezzük kiegészítő háromszögnek - adatai is ismertek.

A beírt és körülírt kör sugara

Nem vitatom az utolsó válaszoló megoldásának helyességét, de van ennél egyszerűbb is.

Minden háromszögre érvényes, hogy

T = r*s

ahol

r - a beírt kör sugara

s = (a + b + c)/2 - a háromszög kerületének fele

vagyis egy a, b, c oldalú háromszög területe egyenlő a a beírt kör sugarának a félkerületének a szorzatával.

ebből

r = T/s

Mindkét háromszög minden oldala ismert, a terület adott, így nem probléma a beírt kör sugarának kiszámítása.

A körülírt kör sugarának meghatározására több módszer is van

1.)

Az egyik válaszoló már említette a szinusz tételből adódó

R = a/2*sinα

képletet, amelybe az alapot, és a vele szemben fekvő szöget kell behelyettesíteni.

2.)

A területképletből és a fenti egyenletből származtatható

R = abc/4T

képlettel is lehet számolni

3.)

A második ábrán az R2 meghatározása látható, amit csak azért mutatok, hogy nem feltétlen kell mindig ragaszkodni a jól ismert képletekhez, a helyzettől függően más megoldások is szóba jöhetnek.

Remélem, sikerült elég részletesen körüljárni a problémát, ha valami nem világos, szólj azonnal.

DeeDee

************

Csak mosolygok magamon, mert annyira megtetszett a feladat, hogy nem is figyeltem a szövegre, miszerint "Egy hegyesszögű..." háromszögről szól a kérdés, így a második megoldás nem is elégíti ki a feladat feltételeit. :-)

Ennek ellenére talán hasznosak az általam leírtak.

DeeDee

*******