Segítenél a matekban? Nem értem! (6. -osztály)

Hát én se vágom bocsi.

Nincs egy példa a füzetedben ami már meg van oldva?

A mérlegelv lényege, hogy az egyenlet (vagy akár egyenlőtlenség is lehet, de ez most mindegy) mindkét oldalát ugyanúgy változtatod, így továbbra is fennáll az egyenlőség. Azért mérlegelv, mert olyan, mintha egy mérleg 2 karjáról mindig ugyanannyit vennél le, így az egyensúly megmarad.

Az egyenlet megoldásánál az a cél, hogy "g = szám" legyen a vége, és úgy kell elvenni az oldalakból, hogy végül ilyen legyen. Első lépés, hogy eltűnteted valamelyik oldalról az g-t.

A bal oldalon 1 g van, a jobb oldalon 5, ezért ahhoz, hogy eltünjön balról a g, ki kell vonnod g-t mind a két oldalról. Így:

g+108-g=5*g-g

ahol a +g és a -g a bal oldalon nulla, a jobb oldalon marad 4*g, de mivel ugyanannyival változott mindkét oldal, ezért továbbra is egyenlőek:

108 = 4*g

Ez már majdnem jó, egyedül a 4-es szorzó van útban. Ezt úgy lehet megoldani, hogy elosztod mindkét oldalt 4-gyel:

108/4 = 4*g/4

Az osztást elvégezve:

27 = g

Ha visszahelyettesíted a 27-et eredeti egyenletbe a g-k helyére:

27+108=5*27

Mindkét oldal 135, tehát a megoldás helyes.

A második egyenletet hasonlóképpen lehet megoldani. Itt is azt éri meg eltüntetni, amelyik oldalon kevesebb van ( -2<3 ).

Az utolsó egyenlet érdekesebb. Itt látszik, hogy mind a két oldalon ugyanannyi i van (-1). Hozzáadva az egyenlethez i-t 48=25-öt kapsz, ami nyilván nem igaz. Próbálkozhatsz pár számmal i helyére, de hamar rájössz, h fölösleges, mert nincs olyan szám, amire ez az egyenlet teljesül. Ennek az egyenletnek nincs megoldása.

1.

g + 108 = 5*g / -g (azért vonjuk ki a „g“ –t, hogy az egyik oldalon maradjanak a számok, a másik oldalon meg végül csak az ismeretlen)

g + 108 – g = 5*g -g

108 = 4*g (megfordítjuk)

4*g = 108 / :4 (elosztjuk néggyel, mert ha 4*g egyenlő 108-cal, akkor 1*g négyszer kevesebbel lesz egyenlő)

4*g/4 = 108/4

g = 27

(folyt. következik)

Először csinálok egy új példát, hasonló lesz logikájában, mint ezek, de kisebb számmal, olyat, amit közvetlen ki is lehet találni, és ezért ebben a példában egyelőre csak ellenőrzöm a megoldást.

k + 4 = 3·k

Ha próbálgatok (0, 1, 2, ...), hamar kijön, hogy k = 2 az jó. Most le is ,,rajzolnám'', miről is van szó tulajdonképpen:

2 + 4:

oo oooo

vagyis két kavicsot összefogtam, aztán külön négy kavicsot összefogtam, aztán ezeket egymás mellé toltam.

3·2:

oo oo oo

vagyis két kavicsot összefogtam, aztán három ugyanilyen ilyen kavicspárost egymás mellé toltam.

Az egyenlet tulajdonképpen azt mondja, hogy ez a kétféle dolog ugyanazt adja. Vagyis

oo oooo

az ugyanannyi kavics, mint

oo oo ooo

lerajzolom szorosan egymás alá is őket, úgy jobban látszik az összehasonlítás:

oo oooo

oo oo oo

ezekről azért látszik jól, hogy ugyanannyiak, mert mindketten ugyanúgy kezdődnek:

mindkét sor egy oo "fejrésszel" indul. Teszek is egy vonalat a fej és a farok közé

oo | oooo

oo | oo oo

Képzeletben ezt a "fejrészt" akár le is "vághatnám" a két sorból, hiszen ha mindkettő úgyis teljesen ugyanazzal a fej-alakzattal kezdődik, akkor már csak azt kell megnéznünk, hogy vajon a folytatásuk, ,,farkuk'' is rendre ugyanolyan-e.

szóval az, hogy ugyanannyi kavics van-e a két sorban

oo | oooo

oo | oo oo

az abból is ellenőrizhető, hogy a két sor farokrésze is ugyanannyi kavicsból áll-e:

oooo

oo oo

ez pedig tényleg igaz, mert egy négyes az valóban előállítható két darab kettős egymás mellé tolásából.

No de térjünk vissza arra, hogy hogyan is kell egyenletet megoldani, mérlegelvvel, tehát most immár próbálgatás nélkül. Tehát legyen újra ez a példa

k + 4 = 3·k

csak most próbálgatás nélkül. A k az valamilyen szám, amit egyelőre még nem ismerünk. Egyelőre így rajzolom le

o...o

szóval valamennyi kavics, még nem tudom, mennyi, ezért teszem azt a pontsort a két szélső kavics közé a rajzban.

Szóval a

k + 4 = 3·k

egyenlet tulajdonképpen arról szól, hogy

(o...o) (oooo)

(o...o) (o...o) (o...o)

van egy zacskó kavicsom (o...o), nem tudom pontosan, mennyi kavics van benne, de annyit tudok, hogy ha még négy kavicsot (oooo) kapok melléjük, akkor pontosan ugyanannyi kavicsom lenne, mintha három teljesen ugyanolyat zacskónyim lenne ebből a bizonyos ismeretlen zacskó kavicsból. A feladat (egyenlet) pedig azt kéri, hogy ennyi tudás alapján alapján KÖVETKEZTESSEK VISSZA arra, hogy hány kavics is van abban a bizonyos zacsiban. Az a lényeg, hogy érdemes VISSZAFELÉ gondolkodni, kicsit hasonlóan ahhoz, ahogy a barkochbában vagy a találós kérdéseknél gondolkozuk.

Itt a rajznál az a lényeg, hogy a felső rajz ugyanannyi kavicsot ábrázol, mint az alsó.

(o...o) (oooo)

(o...o) (o...o) (o...o)

most is látszik, hogy a két sor teljesen ugyanúgy kezdődik: mindkét sornak van egy ,,fejrésze'' (o..o). Teszek oda egy vonalat, hogy jobban látszódjék:

(o...o) | (oooo)

(o...o) | (o...o) (o...o)

A fejek teljesen ugyanolyanok, tehát csak azt kell megnéznem, hogy a két sor ,,farokrésze'' hogyan is állhat ugyanannyi kavicsból:

(oooo)

(o..o) (o..o)

Ez annyit mond, hogy két zacskó kavics az épp anyi, mint pontosan négy kavics. Végül is ez tényleg logikusan következik a feladat szüvegéből. Ha három zacskó kavics az épp anyi, mint egy zacskó kavics és még négy kavics, akkor az persze hogy azt jelenti, hogy egy zacskó kavicsot képzeletben kivehetek a két összehasonlítás két oldalából, szóval két zacskó kavics épp négy kavics.

Innen meg már könnyű: ha két zacskó kavics éppen négy kavics, akkor egy zacskóban épp feleennyi van: két kavics, ez a megoldás (ellenőrizhetjük is: két zacskóban valóban együttesen négy kavics van, három zacskóban hat, kettő meg négy pedig valóban szintén hat).

k + 4 = 3·k

k + 4 = k + k + k

4 = k + k

k = 2

Persze a mérlegelv sokkal sokrétűbb dolog ennél, mint amit itt elmondtam, ez csak egy kis rajz akart lenni hozzá.

Igazából az a szokatlan az egészben, hogy éppen visszafelé gondolkodunk, ,,visszakövetkeztetünk''. Az egyenlet egy találós kérdés, valami érdekeset mond egy (egyelőre) ismeretlen dologról, de nem árulja el közvetlenül, mi is az, és nekünk kell visszakövetkeztetnünk erre.