Hogy tudnám megoldani ezt a márciusi KöMal feladatot?

nincs időm részletesen kiszámolni neked, de meg tudom mondani, hogy miként indulj el.

azt viszonylag könnyű belátni, hogy a (hosszabbik) befogóhoz képest a legnagyobb beírható kör akkor van, ha a két befogó egyenlő. ha nem egyenlőek, akkor a hosszabbikhoz képest már csak kisebb kör rajzolható.

azaz semmi más dolgod nincsen, mint megnézd mi az arány egyenlő szárú esetben, mert ennél az arány csak rosszabb lehet.

Az egyenlőszárú derékszögű háromszögben a körülírt és beírt sugár hányadosa

R/r = √2 + 1

A háromszög szára

b = R/√2

Ezt behelyettesítve

b/r = 2 + √2 > 3

Bocs, hülyeséget írtam

R = b/√2

így jön ki a

b/r = 2 + √2 > 3

"h a b/r maximális értéke 10/3 azaz 3.333333."

nem. arra, hogy háromtizednél kisebb. szó sincs arról, hogy valaha is kellene annyinak lennie. tehát nem maximális.

Állj a menet!

A feladat szerint

r < 3b/10

Kicsit átrendezve

10r < 3b

ill.

10/3 < b/r

Egyenlő szárú derékszögű háromszög esetén a b/r arány a legkisebb, és ez a számítás szerint 2 + √2 (3,41...), vagyis nagyobb, mint 10/3. Minden más esetben ennél nagyobb a b/r arány, vagyis a tétel igaz!