Mi a végeredmény?

mivel ez 0/0 alakú lesz, használjuk a L'Hospital szabályt, azaz lederiváljuk külön külön a számlálót és a nevezőt

tg5x deriváltja: 5* 1/ctg^2x

sin3x deriváltja: 3* cos3x

lim(tg5x/sin3x) = lim (5*1/ctg5x / 3cos3x), ide már behelyettesíthetjük a 0-t, hiszen ctg0 = 1 és cos 0 = 1

tehán lim ... = 5*1/1 / 3*1 = 5/3

Van két szépséghibája a dolognak:

"tg5x deriváltja: 5* 1/ctg^2x "

Nem, ez nem jó. tg5x deriváltja: 5/cos^2x

"ctg0 = 1 "

Nem, ez nem 1. ctg0= nincs értelmezve.

Viszont 5/cos^2x =1, mivel cos 0°=1.

Így a végeredmény valóban 5/3

Meg lehet oldani L'Hospital nélkül is pl. a következőképp.

tg5x-et felírod ógy hogy sin5x/cos5x, és ez van még elosztva sin3x-el.

Így egy emeletes törtet kapunk, amit úgy lehet átalakítani hogy:

(1/cos5x)*(sin5x/sin3x). Innentől kezdve sin(bx)/bx alakra hozzuk:

(1/cos5x)*(sin5x/sin3x)=((1/cos5x)*(sin5x/5x)/(sin3x/3x))*(5/3)=1*1*5/3

Tehát 5/3 a végeredmény.