Egy egyenlő szárú háromszög alapjainak hossza 8 cm, a rajta fekvő szögek 75 fokosak. Számítsd ki a háromszög köré írt sugarát, a szárak hosszát, és a háromszög területét?

(Egy háromszögnek csak egy alapja van!)

A harmadik szög könnyen kiszámolható: 30°.

Szinusztétel: a/b = sin(alfa)/sin(béta)

Így ha a-nak nevezzük az egyik szárat, b-nek az alapot, akkor az adatokat behelyettesítve a szár hossza:

a = 8*sin(75°)/sin(30°) = 4*(gyök6 + gyök2)

A háromszög köré írható kör sugarára:

R = b/(2*sin(béta)) = 8/(2*sin(30°)) = 8

Terület: két oldal és a közrezárt szög szinuszának a szorzatának a fele

T = a*a*sin(30°)/2 = 4*(gyök6 + gyök2)^2 = (kerekítve) 955,405

(Mert előbb számoltuk, hogy a két egyenlő szár mekkora)

A tévedés jogát fenntartom :)

Én is köszönöm a szép megoldást, sokat tanultam belőle.

Csak a területhez szólnék hozzá:

a / 8 = sin 75° / sin 30°

a = 16 · sin 75°

sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30° = √2/2 · √3/2 + √2/2 · ½ = (√2 + √6)/4

a = 16 · (√2 + √6)/4 = 4·(√2 + √6)

a ≈ 15,4548

a² = [4·(√2 + √6)]² = 4² · (√2 + √6)² = 16 · (√2 + √6)²

(√2 + √6)² = (√2)² + 2√2√6 + (√6)² = 2 + 2√2√6 + 6 = 8 + 2√2√6 = 8 + 2√12 = 8 + 2·2√3 = 8 + 4√3

a² = 16 · (√2 + √6)² = 16·(8 + 4√3)

T = a²sin30° / 2 = a²·½ / 2 = a² / 4

T = a² / 4 = 16·(8 + 4√3) / 4 = 16 (2 + √3)

T ≈ 59,7128

[link]

Egy másik megközelítés

Legyen

a = 8 cm - a háromszög alapja

α = 75° - az alapon fekvő szögek nagysága

m - a háromszög alaphoz tartozó magassága

b = ? - a háromszög szára

T = ? - a háromszög területe

R = ? - a köréírható kör sugara

A szár hossza

b = a/(2*cosα)

===========

A terület

T = a*m/2

de

m = (a*tgα)/2

így

T = a²*tgα/4

=========

A köréírható kör sugara

Az általános képlet

R = abc/4T

Egyenlő szárú háromszögről lévén szó

b = c

így

R = ab²/4T

A 'b' és ''T' kifejezését behelyettesítve

R = a*[a/(2*cosα)]²/(a²*tgα)

Egyszerűsítés után marad

R = a/[2*sin(2α)]

============

A számszerű értékek az adatok behelyettesítése után

b = 4/cos75 ≈ 15,4548 cm

T = 16*tg75 ≈ 59,7128 cm²

R = 4/sin150 = 8 cm

DeeDee

***********