Van egy matek házi ami holnapra kéne és nem boldogulok vele: Legalább mennyi a kerülete egy olyan trapéznak amelyeknek alapjai 10cm és 20cm a magassága 12cm?

Szerintem a szimmetrikus trapéznak a legkisebb a kerülete. Ebben az esetben akkor a szárai 13 cm-esek, így a kerülete 56 cm.

Magyarázat:

A magasság segítségével fel lehet írni Pitagorasz tételét a szárakra. Adjuk össze a két oldalt még négyzetes formában.

Azt kapjuk, hogy (x^2+12^2)+((10-x)^2+12^2)=2x^2-20x+388

Ezt alakítsuk tovább teljes négyzetté:

2(x-5)^2+338

Ennek akkor van minimuma, ha x=5

Amikor a feladat azt kérdezi, hogy milyen esetben lesz az adott feltételeknek eleget tevő trapéznak a lehető legkisebb a kerülete, hát a feladat akár azt is kérdezhetné, hogy mikor a legkisebb a trapéz két szára hosszúságának az összege. Ezzel az átfogalmazással nem hamisítjuk meg a feladatot. Ugyanis a trapéz két alapja eleve meg van adva, tehát a két alap együtt mindig pont 10 + 20, vagyis 30 hosszúságnyi mértékben járulnak hozzá a kerülethez. A trapéz megválasztása tehát nem változtat az alapok hosszán, csak a két szár az, amelyek esettől függő, változó mértékben járul hozzá a kerülethez. Ezért nyugodtan nézhetjük a teljes kerület helyet csak a két szár hosszúság-összegét.

Ezt akár rajzzal is szemléltethetjük:

Ha a trapéz egyik szárával párhuzamost húzok a trapéz másik szárának alkalmas végpontjából, akkor a trapéz belsejéből ,,kivághatok'' egy paralelogrammát, és a trapézből marad egy háromszög. Ennek a háromszögnek szintén 12 a magassága, az egyik szára meg pont a trapéz egyik, másik szára meg pont a trapéz másik szárával egyezik meg. A háromszög alapja pedig 10, és ez úgy áll elő, mint a trapéz két alapjának a különbsége.

A feladat tehát -- a lényeget tekintve -- átfogalmazható úgy is, hogy mikor a lehető legkisebb egy 10-alapú, 12 magasságú háromszög kerülete. De azt is mondhatjuk, hogy mikor a legkisebb a háromszög két szárának az összege.

Ez pedig már ismerős, hiszen ez már nem más, mint a jól ismert szamaras-folyós-farmeres példa:

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Ez alapján kijön, hogy pont az egyelőre szárú háromszög választása esetén lesz a két szár összege minimális.

Ha innen visszakövetkeztetünk az eredeti trapézra (amiből a háromszög le lett vágva), akkor kiderül az is, hogy épp a szimmetrikus trapéznak a legkisebb a kerülete.

Nohát nekem eddig ez volt az, ami alapján meg tudtam oldani. Persze van más út is: lehet számolni is, de a minimalizálandó kifejezés

[link]

első pillantásra riasztónak tűnik. Kellemes lenne, ha csak a szárak hosszúságának négyzetét kéne összegezni, és még jó eredmény jön is ki (vagyis ugyanaz, mint az előbb)

[link]

de szerintem ez csak véletlenül hoz ki jó eredményt, pontosabban szólva, valamilyen értelemben nem véletlenül, de a két minimum-számítás azonossága egyáltalán nem triviális. Ezt a dolgot még nem vizsgáltam meg.

Összefoglalás: tényleg a szimmetrikus trapéznak a legkisebb a kerülete, de erre még nem találtam olyan számolást, ami szép lenne. Ami meg a geometriai utat illeti: a paralelogramma kivágása és a szamaras-folyós-itatós példára való visszavezetés persze talán lehet szép, de ehhez meg sok geometriai ötletet kell felhasználni. Hát egyelőre idáig jutottam. Olyan igazán tömör és könnyű megoldást még nem találtam.

Nagyon szívesen, és én is köszönöm a visszajelzést.

Megpróbáltam utánaszámolni.

Derékszögű trapéz kerülete:

Hát van a két alap (10 + 20), és van a két szár. Mivel a két szár közül az egyik épp derékszögben áll az alapokra, ezért ennek a szárnak a hossza épp a magasság hosszával egyezik meg (12).

Most még a másik szár kéne. Hát ha a derékszögű trapézt (a nem-derékszögénél) épp kiegészítem egy derékszögű háromszöggel egy téglalappá, akkor látszik, hogy ez a bizonyos szár épp ennek a bizonyos kiegészítő derékszögű háromszögnek az átfogója lesz. Ezért Pitagorasz-tétellel számolhatjuk is a hosszát: gyök alatt (12 négyzet plusz 10 négyzet), ez úgy jött ki, hogy ezekből 12 az a magasság, a 10 meg az alapok különbsége. Szóval a másik szár hossza az gyök alatt 244, vagyis 15,56.

Most már megvan a kerület:

alapok: 10 + 20 (együtt 30)

az alapokra merőlegesen álló szár: 12 (épp a magasság)

a másik (az alapokra nem merőlegesen álló) szár: 15,62

tehát a kerület együtt: 30 + 12 + 15,62, vagyis 57,62.

Most nézzük a szimmetrikus trapézt.

Alapok: itt is 10 + 20, együtt 30

A két szár hossza azonos egymással, hiszen szimetrikusan állnak a szimmetriatengelyre. Ezek hosszát is alkalmas módon Pitagorasz-tétellel számolhatjuk: gyök alatt (12 négyzete meg 5 négyzete), szóval (144 + 25) gyöke, vagyis gyök 169, vagyis 13. Ilyen hosszú az egyik szár is meg a másik szár is. A két szár együtt tehát 13 + 13, vagyis 26 összhosszúságú.

Tehát a szimmetrikus trapéz kerülete: 10 + 20 (ugye az alapok) + 2*13 (a két szár), szóval 30 + 26, vagyis 56.

A szimmetrikus trapéz kerülete valamivel kisebb, mint a derékszögű trapézé. Szóval szerintem nem a derékszögű trapéz kerülete a lehető legkisebb, hiszen legalábbis s szimmetrikus trapéz kerülete még annál is kisebb.

Szerintem igenis a szimmetrikus trapéz lesz az, ami minimális, de ezt egyelőre csak geometriai úton (a szamaras példával) tudom igazolni, szóval számolással nem sikerült (elvesztem a gyökös kifejezések összegének minimalizásában). Számolás terén csak a Wolfram Alpha eredményére tudok támaszkodni.

[link]

Mindenesetre azt közvetlen számolással is tudom igazolni, Szóval egyelőre maradt a szamaras példa mint bizonyítás (abban egy tükrözési trükk a lényeg, meg az, hogy két pont között a legrövidebb út az egyenes).

Azonban azt, hogy NEM a derékszögű trapéz az, aminek a kerülete a lehető legkisebb, azt már igenis tudom közvetlen számolással is szemléltetni: épp ezt tettem az előbb.

A 10 cm-es alapú, 12 cm-es magasságú háromszögek közül annak a legkisebb a kerülete, amelyik épp egyenlő szárú.

Bizonyítás:

Van egy farmer, ő épp ennek a háromszög alapjának az egyik végpontjában lakik. El szeretné vinni a szamarat a másik tanyájára, ez a másik tanya meg épp a háromszög alapjának a másik végpontjában van. Az alap 10 km-es (épp ilyen távol van egymástól a két tanya).

Sajnos nem ilyen egyszerű az út, mert a szamarat útközben meg is kell itatni. A folyó éppen a két tanyát összekötő képzeletbeli egyenessel párhuzamosan folyik, de attól 12 km távolságra.

A farmer tehát a kiindulási tanyáról elindulva, elviszi a szamarat a folyóhoz, és visszajön vele, de a visszaút során már a másik tanya felé megy. A kérdés az, hogy a folyó felé menet a farmer a folyó melyik pontja felé tartson, hogy elérhesse, hogy az odaút és a másik tanyára való visszaút összesen a lehető legrövidebb legyen.

Vagyis: a feladat során arról van szó, hogy van egy háromszög, az alapja 10 km, a magassága 12 km, és úgy e feltételek között még úgy kéne a háromszög harmadik csúcsát megválasztani, hogy a háromszög kerülete minimális legyen (vagy ha úgy tetszik, azt is mondhatom, mert a lényeg ugyanaz, hisz az alap úgyis előre adva van, tehát azt is mondhatom, hogy a két szár összege legyen minimális).

No és a farmer akkor teszi jól, ha úgy tervezi meg a szamár itatását, hogy a bejárt háromszög éppen egy egyenlő szárú háromszög legyen.

Ez úgy jön ki, hogy a farmer képzeletben még otthon előző este, amikor tervezi az útvonalat, leül a térképhez, és a másik (a célként kitűzött) tanyát a térképen tükrözi tengelyesen a folyóra. És másnap reggel úgy indul el, mintha efelé a képzeletbeli tükörtanya felé tartana. Vagy inkább úgy mondanám, hogy a farmer még előző este papírral-ceruzával a térképen tükrözi a céltanyát a folyóra, és a céltanya tükörképét a térképen összeköti a kiinduló tanyával. És ahol ez az összekötő egyenes metszi a folyó vonalát, no az lesz a folyónak az a pontja, ami felé érdemes hajtani a szamarat az itatáshoz. Mert úgy lehet a lehető legrövidebb útvonalat megtervezni a kiinduló tanya, a folyót érintő itatóhely és a céltanya között.

Ez az egész úgy jön az eredeti trapézos feladathoz, hogy ha az eredeti trapézt megfelelő módon elvágom egy paralelogrammára és egy ,,maradék'' háromszögre, akkor látszik, hogy a háromszöges példa egyben a trapézos példára is választ ad.

Viszont ha a háromszöges példában az egyenlőszárú háromszög bizonyult minimálisnak (kerület, illetve szárösszeg szempontjából), akkor a trapézos példában ugyanez úgy jelenik meg, hogy a szimmetrikus trapéz az, ami minimális lesz ((kerület, illetve szárösszeg szempontjából).

,,A 10 cm-es alapú, 12 cm-es magasságú háromszögek közül annak a legkisebb a kerülete, amelyik épp egyenlő szárú.''

Mármint persze itt a tízcentis alapra állított magasságot értem, szóval a három magasság közül ez van 12 centisnek megkövetelve.

A derékszögű trapéz kerülete = 20+10+12+gyök(10^2+12^2), ami kb.57,6. Ez nagyobb, mint 56.

A tanárnak, hogy jöhetett ki 56-nál kisebb? Levezette?

Hányadikos vagy?