Két érdekes matematikai kérdésre várnék válaszokat, részletek lent. Ötletek?

Az elsőhöz az lenne az ötletem, hogy ha az osztókat összeszorzod, akkor a számnak egy x-edik hatványát kapod, ahol x az osztók számának fele (ez így érthető?). Mert ugye az osztók párba állíthatók, és egy-egy pár szorzata maga a szám, és mivel párban állnak, a szorzók számának felét kell figyelembe venni.

Tehát a 2^120*3^60*5^90-nek kell valahányadik gyökét venni. Ha valaminek veszed az y-odik gyökét, akkor az "hatványnyelvre" átfordítva azt jelenti, hogy a hatványkitevőt osztod y-nal.

120, 60 és 90 legnagyobb közös osztója a 30. Így 30 osztóival kell gyököt vonnod. A gyökvonás után elvileg meg kell kapnod az eredeti számot, ellenőrizni pedig úgy tudod magad, ha ennek a számnak megnézed az osztóinak a számát. Ha ez kétszerese annak, ahányadik gyököt vontál, akkor nyert ügyed van.

Ha veszed a 30-adik gyökét, akkor a számnak elvileg 2^4*3^2*5^3-nek kell lennie, de ennek osztóinak száma 5*3*4=90.

Ha veszed a 15-ödik gyökét, akkor a számnak elvileg 2^8*3^4*5^6-nak kell lennie, de ennek osztóinak száma 9*5*7=315.

Azt hiszem, tovább nem is kell írnom, mert minél kisebb gyökét veszed, annál többre fog kijönni az osztók száma.

Tehát elvileg az én gondolatmenetem szerint (ami nem biztos, hogy jó) nincs megoldás.

A másodikhoz:

Induljunk ki a 2. egyenletből.

x+y=5-négyzetgyök(x+y+1)

x+y-5=-négyzetgyök(x+y+1)

5-x-y=négyzetgyök(x+y+1) --- négyzetre emelve

y^2+2xy-10y+x^2-10x+25 = x+y+1

y^2-2xy-11y+x^2-11x+24=0 --- szorzattá alakítva

(y+x-8)*(y+x-3) = 0

Szorzat akkor és csak akkor 0, ha az egyik tényezője 0.

Tehát y+x-8 = 0 vagy y+x-3 = 0. Minkét esetben ki lehet fejezni egyiket a másikkal, ezt vissza kell írni az első egyenletbe.

Első vagyok. Kicsit elszámoltam a dolgokat. 5*3*4 értéke nem 90, hanem 60. Így tehát 60 osztója van, a szám értéke pedig 2^4*3^2*5^3=18000.

Felírtam egyébként egy bonyolult egyenletet. Tehát ha veszed egy szám x-edik gyökét, akkor az olyan, mintha a hatványkitevőjét osztanád x-szel. Esetünkben az x-edik gyök pedig megadja az eredeti számot, aminek osztóinak száma 2x. Az osztók számáról tudjuk továbbá, hogy a prímtényezős felbontás után a prímek kitevőjéhez 1-et adva, és ezeket a "kitevőplusszegyeket" összeszorozva az osztók számát kapjuk. Nos ez alapján írtam fel egy egyenletet:

(60/x+1)*(90/x+1)*(120/x+1)=2x

270/x+23400/x^2+648000/x^3+1=2x

270/x+23400/x^2+648000/x^3+1-2x=0 --- szorzattá alakítva

((30-x)*(2x^3+59x^2+1500x+21600))/x^3=0

Szorzat akkor és csak akkor 0, ha az egyik tényezője 0. Tehát 30-x = 0 vagy 2x^3+59x^2+1500x+21600 = 0.

Az előbbiből kijön, hogy x=30. Az utóbbinak a valós számok halmazán a -19,469... a megoldása, ami sem nem egész, sem nem pozitív (nekünk pedig csak ilyen számok kellenek). Mivel harmadik hatvány is van ebben az egyenletben, elvileg 3 megoldása lenne, de a másik két megoldás a komplex számok halmazán van, tehát kilőve.

Szép feladat! :-)

Adott

M(N) = 2^120 * 3^60 * 5^90

amely érték egy N szám osztóinak szorzata

A feladat az N szám meghatározása.

Legyen

N = a^x

d(N) = x + 1

M(N) - az N szám osztóinak szorzata

A legegyszerűbb egy példán megmutatni a későbbi eredmények születésének menetét.

Az egyestől haladok az általános felé. :-)

Legyen a szám

N = 3⁴

vagyis

a = 3

x = 4

Az osztók száma

d(N) = x + 1 = 5,

ezek a következők

3º, 3¹, 3², 3³, 3⁴

a szorzatuk

M(N) = 3º * 3¹ * 3² * 3³ * 3⁴ = 1*3*9*27*81 = 59049

Látható, hogy az M(N) tulajdonképpen azonos alapú hatványok szorzása, amit a hatványozás szabályai szerint úgy kell elvégezni, hogy a számot a kitevők összegére emeljük.

A kitevők összege

k(N) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4

k(N) = 10

Tehát írható, hogy

M(N) = 3¹º

De azt is látni, hogy a 'k(N)' értéke egy olyan számtani sor összege, melynél

az első tag

a1 = 0

az utolsó tag

an = 4

a tagok száma

n = 5

A számtani sor összegképlete szerint

k(N) = (0 + 4)*5/2

k(N) = 10

Az utóbbi műveletsor általánosítása

a1 = 0

an = x

n = d(N) = x + 1

így

k(N) = (0 + x)(x + 1)/2

k(N) = x(x + 1)/2

vagyis írható, hogy

M(N) = a^k(N)

Tehát: ha van egy M(N) = a^p alakú számunk, amiről tudjuk, az N szám osztóinak szorzata, akkor írható

a^p = a^k(N)

Ebből már nem nehéz az x-et meghatározni.

Az alapok egyenlősége miatt a kitevők is egyenlők, így

p = k(N)

p = x(x + 1)/2

'p' ismert, így van egy egyismeretlenes egyenletünk

Zárójel felbontás, rendezés után a következő egyenletünk van

x² + x - 2p = 0

A diszkrimináns

D = 1 + 8p

Csak a pozitív gyök jöhet szóba, így

x = (√D - 1)/2

(1) x = [√(1 + 8p) - 1]/2

==================

Most lássuk a feladat számait

M(N) = 2^120 * 3^60 * 5^90

A tényezőket külön-külön vizsgáljuk

N1 = 2¹²º

vagyis

a = 2

p = 120

a 'p'-t a fenti képletbe helyettesítve

x = [√(1 + 8*120) - 1]/2 = (√961 - 1)/2 = (31 - 1)/2

x = 15

Tehát az

N = 2¹⁵

szám osztóinak szorzata

M(N) = 2¹²º

Ellenőrzésként az osztók kitevőinek összege

k = (0 + 15)*16/2

k = 120

A másik két taggal ugyanezt elvégezve elég a diszkriminánst vizsgálni:

N2 = 3⁶º

D = 1 + 480 = 481

nem négyzetszám, nincs megoldás

N3 = 5⁹º

D = 1 + 720 = 721

szintén nem négyzetszám, itt sincs megoldás

A végkövetkeztetés:

Az adott kikötések mellett a feladatban megadott szám nem létezik.

===================================================

Megjegyzés:

Ha N2 = 3⁶⁶ és N3 = 5⁹¹ lenne,

tehát ha

M(N) = 2¹²º * 3⁶⁶ * 5⁹¹

akkor a keresett szám

N = 2¹⁵ * 3¹¹ * 5¹³

lenne a megoldás.

Mivel

D = 1 + 8p

páratlan szám, írható

1 + 8p = (2q -1)²

1 + 8p = 4q² - 4q + 1

8p = 4q² - 4q /4

2p = q² - q = q(q - 1)

és

p = q(q - 1)/2

ahol q > 0 természetes szám

Különböző 'q' értékek behelyettesítésével meg lehet kapni azokat a 'p' értékeket, amelyre az egyenletnek egész megoldása van.

DeeDee

***********

Kedves DeeDee!

Lenne mit tanulni Dextertől. ;) Fentebb már írtak jó megoldást két megközelítésben is, valamit biztosan elszámoltál vagy a módszer rossz.