Hány téglalap van a következő ábrán? 216-ra tippelek.

Az én megoldásom:756.

Megpróbálom leírni, hogy nekem hogyan jött ki.

először csak egy sort nézek, azaz az egy rács magas téglalapokat. Ezel egy sorban 8 db 1 széles, 7db 2 széles... 1db 8 széles, azaz egy sorban egy egség magas téglalapból 8+7+6...+1 = 36 db van.

6db sor van.

Ugyanazzel a logikával a 2 egység magas téglalapok csak annyiban különböznek, hogy nekik csak 5db "soruk" van, persze itt egy sor az két egység magas. A 3 magasokból 4 stb.

Így a megoldás: 36*(6+5+4+3+2+1) = 36*21 = 756.

Ha nem világos írj, és megpróbálom jobban megfogalmazni :)

A feladatnak van egyértelmű zárt formájú megoldása!

Ha

a = 8 - a vízszintes egységek száma

b = 6 - a függőleges egységek száma

x - az aktuális vízszintes méret [egység]

y - az aktuális függőleges méret [egység]

akkor egy x, y pár esetén a berajzolható téglalapok száma - nem részletezett gondolatmenet alapján -

N(x,y) = [(a + 1) - x][(b + 1) - y]

ahol

x: 1 -> a

y: 1 -> b

Pl:

rögzített 'x' esetén a példa adataival

x = 1

N(x,y) = [(a + 1) - x][(b + 1) - y]

N(1,y) = [(8 + 1) - 1][(6 + 1) - y]

N(1,y) = 8(7 - y)

Az összeget az 'y' különböző értékeinek behelyettesítésével lehet megkapni

x = 2 esetén

N(2,y) = 7(7 - y)

x = 3 esetén

N(3,y) = 6(7 - y)

...stb.

A szorzat első tagja

Ax = [(a + 1) - x]

értékei: a -> 1

A sorozat második tagja változó 'y' értékek esetén egy számtani sorozatot alkot, melynek első eleme

a1 = b + 1 - 1

a1 = b

az utolsó eleme

ay = b + 1 - b

ay = 1

az elemek száma

n = b

így az összege

Sy = b(b + 1)/2

ezekkel az összegfüggvény

N(x,y) = ΣAx*Sy

Mint a fenti példából látható 'x' változó értékei esetén az Ax értékei is egy számtani sort alkotnak, melynek első eleme

a1 = a

az utolsó eleme

ax = 1

az elemek száma

n = a

így az összege

Sx = a(a + 1)/2

Végül is a teljes összeg, az a*b méretű rácsban található téglalapok száma

N(a,b) = [a(a + 1)/2][b(b + 1)/2]

========================

ami bármilyen hasonló feladatra alkalmazható.

A példa adataival

a = 8

b = 6

N(a,b) = [8(8 + 1)/2][6(6 + 1)/2] = 36*21

N(a,b) = 756

==========

ami megerősíti a harmadik válaszoló által adott értéket.

DeeDee

************

Ez az "egyértelmű zárt formájú" megoldás roppant komoly, de végigolvasni is több munka, mint amit a feladat ér, nemhogy begépelni. A másik megoldás sokkal egyszerűbb volt.

De a legegyszerűbb szerintem, amit én mondtam: annyi téglalap van, ahányféleképpen két csúcsot kiválaszthatsz, leszámítva az egymás alattiakat és egymás mellettieket. Azt elfelejtettem a múltkor, hogy ezt felezni kell, mert így a "bal alsó-jobb felső" meg a másik irányú csúcspárokat is kiválasztottuk. Ha a(x,y) jelöli az "x alatta y" együtthatót, akkor a megoldás:

(a(63,2)-a(7,2)*9-a(9,2)*7) / 2, ami tényleg 756.