A gyök2 indirekt bizonyítása?

A gyök kettő irracionális szám, azaz nem lehet felírni két egész szám hányadosakánt.

Azzal, hogy bebizonyítottad, hogy

gyök2=p/q hamis egyenlet, tulajdonképpen bebizonyítottad ezt. ( p,q egész számok)

Hát kicsit szövegesebben így nézne ki:

Bizonyítsd be, hogy gyök2 irracionális szám.

1. lépés:

Egy szám irracionális, ha nem írható fel két egész szám hányadosaként, tehát elég bebizonyítanom, hogy gyök2=/=p/q, ha p és q eleme az egész számoknak.

2. lépés:

Indirekten bizonyítom be, azaz felteszem, hogy gyök2=p/q és, ha ebből ekvaliens (oda-vissza igaz) átalakításokkal kihozok egy hamis állítást, akkor csak egy helyen tévedhettem, ott, hogy feltettem, hogy gyök2=p/q azaz gyök2=/=p/q azaz gyök2 irracionális.

3. lépés:

gyök2 pozitív (definíció miatt), azaz p/q is pozitív, azaz négyzetre emelés ekvaliens átalakítás. Kaptam 2=(p/q)^2

4. lépés:

Hatványozás azonosságait felhasználva (p/q)^2=p^2/q^2. Kaptam 2=p^2/q^2

5. lépés:

Mivel nincs két olyan négyzetszám, aminek hányadosa 2 lenne, ezért a kapott állítás hamis azaz a 2. lépésben leírt gondolat menet alapján gyök2 irracionális, azaz kész a feladat.

Próbáltam a lehető legrészletesebben leírni.

Az utolsó állítás hamisságának bizonyítását kihagytam (mert azt sem lehet csak úgy állítani) gondolván, hogy azt érted, de azért az is kéne bele, hogy korrekt legyen.

az a lényege, hogy négyzetremelés atán beszorzol a nevezővel és akkor a bal oldalon az lesz, hogy 2szer qnégyzet. tehát pnégyzet osztható kettővel, ebből adódóan p is osztható 2vel.

ugyanezzel a trükkel, kihozhatod, hogy a q is osztható lesz 2vel és akkor p/q hányados egyszerűsíthető lenne, de neked azt fel kellett tenni a legelején, hogy az már nem egyszerüsíthető tovább. így jutsz ellentmondásra.