Mennyi lehet a legtöbb eleme annak az egész számokból álló számsorozatnak, amelyben bármely három szomszédos elem összege pozitív, és bármely öt szomszédos elem összege negatív?

Részeredményeim:

1. Bármely 5 közül a középső pozitív.

Biz:

I. a+b+c>0

II. c+d+e>0

összeadva

a+b+2c+d+e>0

de a+b+c+d<0, ezért csak c>0 lehet.

2. Nem lehet egy "szomszédos ötösben" csak egyetlen negatív.

Biz: e negatív abszolútértéke a többi 4 pozitív összegénél nagyobb lenne, így két "ötösbeli" szomszédos elemével negatív összeget adna.

E kettőből következik, hogy a kérdezett darabszám nem lehet nyolcnál több, mert ha 9 elem lenne, akkor az első, második, harmadik, negyedik "ötös rész" középsője is pozitív kéne legyen, azaz négy szomszédos pozitív lenne, ami 2. miatt lehetetlen.

Másrészt 5 ilyen szám simán lehet: 1, -3, 3, -3, 1.

El kell dönteni, lehet-e 6, 7 vagy 8 ilyen és kész.

Sejtésem, hogy már 6 sincs, gondolkozom tovább.

vrrrr

Nem saját megoldásom:

Hat elemű sorozat van: 3, -6, 4, 4, -6, 3.

Hét elemű sorozat nincs. Tegyük fel ugyanis, hogy x1, ..., x7 egy jó hét elemű sorozat. Ekkor

(x2+x3+x4) + (x5+x6+x7) > 0 > x3+x4+x5+x6+x7 miatt x2>0

(x1+x2+x3) + (x3+x4+x5) > 0 > x1+x2+x3+x4+x5 miatt x3>0

(x2+x3+x4) + (x4+x5+x6) > 0 > x2+x3+x4+x5+x6 miatt x4>0

(x3+x4+x5) + (x5+x6+x7) > 0 > x3+x4+x5+x6+x7 miatt x5>0

(x1+x2+x3) + (x4+x5+x6) > 0 > x1+x2+x3+x4+x5 miatt x6>0

Tehát x2, x3, x4, x5, x6 mind pozitív, miközben az összegük negatív. Ellentmondás.

vrrrr