Valaki elmagyarázná gyerek nyelven, a Pitagorasz-tételt?

Ez itt teljesen érthetően leírja:

[link]

a^2+b^2=c^2

Ezt nehéz megtanulni? Mert ha igen, akkor nem ajánlom, hogy tanulj.

A befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével. [link] itt pedig még képekkel is van illusztrálva.

Van egy derékszögű háromszög, vagyis az egyik szöge derékszög. Az ezzel szemben levő oldalt nevezzük átfogónak, c-vel jelöljük. A másik 2 oldal a 2 befogó (a és b).

Ezek közt az az összefüggés van, hogy a^2+b^2=c^2. Vagyis ha "a" mondjuk 4 cm, a b oldal meg 3 cm, akkor c^2=16+9=25, vagyis c 5.

Amikor számítógépes animációt kellet tanulnom, ezt a videót találtam a Pitagorasz-tételről, és megtetszett:

http://www.youtube.com/watch?v=UDRGhTFu17w

Most szétszedem a dolgot lépésekre:

Szóval először is elképzelek magam elé egy derékszögű háromszöget.

Picit messzebb tolom el magamtól, ,,helyet csinálok'' mellette:

http://www.youtube.com/watch?v=o_KD4Qo7TDQ

Most margarétaszerűen, virágsziromszerűen ,,körbecsempézek'' a háromszöggel:

http://www.youtube.com/watch?v=o_KD4Qo7TDQ

meg is van a ,,virág'', persze a ,,közepe'' lyukas még. Nem baj, azt ,,kipótoljuk'':

http://www.youtube.com/watch?v=9otE6VbB_tQ

Tulajdonképpen egy nagy négyzetet kaptunk, ennek az oldala pedig éppen ugyanolyan hosszú szakasz, ami a derékszögű háromszögünk átfogója is volt.

MOSTANTÓL KEZDVE MÁR NEM ADUNK HOZZÁ SEMMIT A KÉPHEZ, ÉS SEMMIT NEM VESZÜNK EL BELŐLE. MINDVÉGIG CSAK ÁTSZABNI FOGJUK, DE A TERÜLETE MÁR NEM FOG VÁLTOZNI!

Szóval ezt a ,,virágot'' egy kicsit átszabjuk (bár a ,,mérete'' nem fog változni). Magukat a szirmokat nem bántjuk, de letépjük őket és másképp tesszük egymás mellé:

http://www.youtube.com/watch?v=0OqUmypZBjo

Most már majdnem kész vagyunk. Persze talán még nem látszik eléggé, mert a belső határoló vonalak most mát zavaróan hatnak. Halványítsunk el néhány belső határolóvonalat, és húzzunk egy újat is:

http://www.youtube.com/watch?v=e28LCnUaGu8&NR=1

Ahogy írtam a csupa nagybetűs rész óta a ,,virág'' összterülete mindig azonos maradt (mert azóta sem hozzá nem tettünk, sem el nem vettünk, mindvégig csak mozgattunk, átszabtunk, belső vonalakat módosítottunk.) Most foglaljuk össze szóban, esorán milyen változás is történt:

hát az hogy volt egy nagy négyzet, aminek az oldalhosszúsága épp a derékszögű háromszög átfogójával egyezett meg. Aztán ebből lett egy két kisebb négyzet,

- ezek közül a kisebbiknek az oldalhosszúsága épp akkor, amint derékszögű háromszögünk kisebbik befogója,

- a két kis négyzet közül pedig a nagyobbiknak az oldalhosszúsága meg épp akkora, amint derékszögű háromszögünk nagyobbik befogója.

Ha a derékszögű háromszög oldalait a, b, c betűvel jelölöm, ahol a és be jelöli a két befogót, és c az átfogót, akkor az egyes alakzatot területét az alábbiak szerint adhatom meg:

- Nagy négyzet területe: c²

- Két kis négyzet területe: egyik a², másik b²

- A két kis négyzetből összerakott alakzat területe: a² + b²

Az egész videó arról szól, hogy a nagy négyzetet át lehet szabni úgy, hogy éppen a két kis négyzet álljon elő belőle (pontosan), ez azt jelenti, hogy

c² = a² + b²

Most újra berakom a videót, de úgy hogy minden lépést együtt, folyamatosan:

http://www.youtube.com/watch?v=UDRGhTFu17w

Ja hogy mi az értelme. Engem is mindig ez érdekel a legjobban a tételekben. Az értelme az sokféle formában megnyilvánulhat. Ezek közül a legaranyosabb talán az, ahogy az ókori egyiptomiak használták ki a tételt.

[link]

Szóval akkor még nem voltak gyárak, amelyek precíz, formára kapott műszereket gyártottak volna. Ha az egyiptomiaknak az épületek tervezésekor, építkezéskor, földek határának meghúzásánál arra volt szükségük, hogy valamit éppen derékszögű alakban jelöljenek ki, akkor nem tudtak valami gyári sablonokat használni, hanem kénytelenek voltak ott a helyszínen, egyszerű eszközökkel előállítani minden mintát, amire szükségük volt.

Képzeld el, hogy telket kell kiparcelláznod, épp derékszögű alakba. Vagy egy piramis alapját kell kijelölnöd. Nincs gyári derékszögű vonalzó, de még ha volna is, akkor sincsen többszáz méteres nagyságban.

No és az egyiptomiak vettek egy hosszú kötelet, azon egyenletesen csomók voltak.

[link]

Ezt ilyen módon használták:

[link]

Szóval, ahogy a két angol nyelvű oldal leírja

[link]

[link]

az volt a lényeg, hogy a kötelet ilyen csomózással használták, összesen 12 egyforma szakaszra osztva csomókkal, kihúzva háromszög alakban úgy, hogy a háromszög egyes oldalaira épp 3, 4, illetve 5 csomóközi kötélszakasz jusson:

[link]

Az ábrán ,,látszik'', hogy a háromszögnek a leghosszabb, 5 szakaszra bontott oldalával szemközti szöge épp derékszög.

[link]

Persze felmerül a kérdés, hogy ez csak szemre látszik-e így, vagy ,,tényleg'' így is van-e. Mi van, ha mégis van egy kis eltérés, ami így papíron nem látszik, de ha egy többszáz méteres piramist, vagy földet kéne kimérni vele, akkor ezen a méreten már állandóan adódna pár méteres eltérés?

No és a bizonyítás épp azt mutatja meg, hogy ettől nem kell félnünk. A háromszög, ha egyenletesen van csomózva (és a kötél nem nyúlik ki), akkor biztosan ,,igazi'', pontos derékszöget ad, amit bátran használhatnak a munkások is az építkezésen, meg a földmérők is a parasztok földjein.

Valójában ez nem pont a Pitagorasz-tétel, hanem a Pitagorasz-tétel MEGFORDÍTÁSA (ami szintén igaz, de külön bizonyítása van).

[link]

Amikor számítógépes animációt kellet tanulnom, ezt a videót találtam a Pitagorasz-tételről, és megtetszett:

http://www.youtube.com/watch?v=UDRGhTFu17w

Most szétszedem a dolgot lépésekre:

Szóval először is elképzelek magam elé egy derékszögű háromszöget.

Picit messzebb tolom el magamtól, ,,helyet csinálok'' mellette:

http://www.youtube.com/watch?v=o_KD4Qo7TDQ

Most margarétaszerűen, virágsziromszerűen ,,körbecsempézek'' a háromszöggel:

http://www.youtube.com/watch?v=dRFq667tv6Y

meg is van a ,,virág'', persze a ,,közepe'' lyukas még. Nem baj, azt ,,kipótoljuk'':

http://www.youtube.com/watch?v=9otE6VbB_tQ

Tulajdonképpen egy nagy négyzetet kaptunk, ennek az oldala pedig éppen ugyanolyan hosszú szakasz, ami a derékszögű háromszögünk átfogója is volt.

MOSTANTÓL KEZDVE MÁR NEM ADUNK HOZZÁ SEMMIT A KÉPHEZ, ÉS SEMMIT NEM VESZÜNK EL BELŐLE. MINDVÉGIG CSAK ÁTSZABNI FOGJUK, DE A TERÜLETE MÁR NEM FOG VÁLTOZNI!

Szóval ezt a ,,virágot'' egy kicsit átszabjuk (bár a ,,mérete'' nem fog változni). Magukat a szirmokat nem bántjuk, de letépjük őket és másképp tesszük egymás mellé:

http://www.youtube.com/watch?v=0OqUmypZBjo

Most már majdnem kész vagyunk. Persze talán még nem látszik eléggé, mert a belső határoló vonalak most mát zavaróan hatnak. Halványítsunk el néhány belső határolóvonalat, és húzzunk egy újat is:

http://www.youtube.com/watch?v=e28LCnUaGu8&NR=1

Ahogy írtam a csupa nagybetűs rész óta a ,,virág'' összterülete mindig azonos maradt (mert azóta sem hozzá nem tettünk, sem el nem vettünk, mindvégig csak mozgattunk, átszabtunk, belső vonalakat módosítottunk.) Most foglaljuk össze szóban, esorán milyen változás is történt:

hát az hogy volt egy nagy négyzet, aminek az oldalhosszúsága épp a derékszögű háromszög átfogójával egyezett meg. Aztán ebből lett egy két kisebb négyzet,

- ezek közül a kisebbiknek az oldalhosszúsága épp akkor, amint derékszögű háromszögünk kisebbik befogója,

- a két kis négyzet közül pedig a nagyobbiknak az oldalhosszúsága meg épp akkora, amint derékszögű háromszögünk nagyobbik befogója.

Ha a derékszögű háromszög oldalait a, b, c betűvel jelölöm, ahol a és be jelöli a két befogót, és c az átfogót, akkor az egyes alakzatot területét az alábbiak szerint adhatom meg:

- Nagy négyzet területe: c²

- Két kis négyzet területe: egyik a², másik b²

- A két kis négyzetből összerakott alakzat területe: a² + b²

Az egész videó arról szól, hogy a nagy négyzetet át lehet szabni úgy, hogy éppen a két kis négyzet álljon elő belőle (pontosan), ez azt jelenti, hogy

c² = a² + b²

Most újra berakom a videót, de úgy hogy minden lépést együtt, folyamatosan:

http://www.youtube.com/watch?v=UDRGhTFu17w