Szabályos négyoldalú gúla alapéle 6 cm, oldalélei pedig 5 cm hosszúak. Mekkora a benne elhelyezhető legnagyobb gömb felszíne?

Adott

a = 6 cm - a gúla alapéle

b = 5 cm - a gúla oldaléle

m - a gúla oldallapjának magassága

M - a gúla magassága

r - a beírható gömb sugara

F = ? - a beírható gömb felszíne

A megoldás menete:

Keresni kell egy olyan metszetet, ahol a gúlát belülről érintő gömb főköre látszik az érintési pontokkal. Mivel a gömb a gúla oldallapjait érinti, a keresett metszet két szemben levő alapél felező pontján és a gúla csúcsán átmenő sík.

Ekkor a metszet egy olyan egyenlő szárú háromszög, melynek alapja a gúla alapéle, a szárai pedig a gúla oldallapjának magassága, benne a háromszögbe írható körrel.

A gömb felszínéhez a sugarát kell meghatározni.

Ezt a következő meggondolással lehet a legkönnyebben megkapni:

Egy a, b, c oldalú háromszög területe egyrészt

t = a*m/2

másrészt

t = r*s

vagyis a beírt kör sugara szorozva a háromszög félkerületével.

s = (a + b + c)/2

A két mennyiség egyenlőségéből

a*m = r*s

így

r = a*m/s

A feladatunknál ez így alakul:

a metszet háromszög 'a' oldalához tartozó magasság a gúla magassága: M,

a metszet háromszög kerülete: a + 2*m, így s = (a + 2m)/2

vagyis

r = a*M/(a + 2m)

A M és a m a megadott adatokból Pithagorász tétellel számíthatók

m² = b² - (a/2)²

M² = m² - (a/2)²

Mindkettő szép kerek szám. :-)

Ezeket behelyettesítve az 'r' képletébe, a kapott sugár értékével a gömb felszíne

F = 4*r²*π

könnyen számítható.

DeeDee

*************