Limesz szuperior/inferior. Tulajdonképpen mit jelentenek?

Kicsit elszúrták, helyesen: b(n)=sup(k>=n: a(k)), ekkor b(n) monoton fogyó sorozat, ezért van határértéke, ez az inf(b(n)), és ez lesz a limsup(a(n)), azaz:

limsup(a(n))=sup(b(n))

Egy halmaznak, vagy függvénynek a lim inf-je az a legnagyobb értek, amelynél kisebb értéket nem tartalmaz a halmaz, vagy nem vesz fel a függvény.

Pl. f(x)=1/x, ennek a függvénynek ugye nincs minimuma, hiszen nincs olyan legkisebb szám, amit felvesz, felveszi a 0,1-et, 0,01-et, 0,001-et stb. DE nem veszi fel a nullát, tehát nem eleme az értelmezési tartománynak, nem minimuma.

Viszont lim inf-je a nulla, hiszen ennél kisebb számot nem vesz fel, és ezek között ő a legnagyobb.

Lim sup ugyanez, csak másik irányból.

második: amiről te írsz az az infimum és a szuprémum.

A lim sup az az, amit az első is írt, magyarul a torlódási pontok szuprémuma. Másképpen a legkisebb olyan szám (tehát az ilyen számok szuprémuma), hogy csak véges sok nála nagyobb eleme van a sorozatnak.

Hasonlóan a lim inf.

Felejtsd el a fenti definíciót (nem is pontos)!

szuprémum: Egy halmaz (vagy egy sorozat is lehet, mert annak az elemei is halmazt alkotnak) legkisebb felső korlátja.

MAGYARUL: tipikusan a legnagyobb eleme, de vannak olyan halmazok, amelyeknek nincs legnagyobb elemük (pl. 2/3; 3/4; 4/5; 5/6; 6/7...), ilyenkor is van legkisebb felső korlát (az említett példában az 1)

Infémum: egy halmaz legnagyobb alsó korlátja.

Parciális limesz: a sorozat bármely részsorozatának határértéke.

limesz szuperior: a sorozat parciális limeszei halmazának szuprémuma.

Én így tudom a legkönnyebben megjegyezni, de ha ezek a fogalmak számodra nehezen érthetőek, akkor térj vissza az általad beírt definícióhoz, csak javítunk rajta egy picit:

"Ha aˇn egy egy tetszőleges felülről korlátos, valós sorozat, akkor a

bˇn= sup (aˇm (m>n))

módon definiált bn sorozat monoton csökkenő, mivel nagyobb n-re kevesebb szám szuprémumát kell venni. Emiatt van határértéke, ami mellesleg inf (bˇn), és ez limsup (aˇn). "

Írok egy harmadik definíciót:

limsup (aˇn) = az (aˇn) sorozat legnagyobb torlódási pontja.

A konstans sorozat monoton csökkenő sorozat. egyben monoton növő is. :-)

Monoton növő/csökkenő és szigorúan monoton növő/csökkenő között van különbség.;-)

Milyen szakra jársz?

20:31

"Pl: an= 1/n akkor bárhol "vágom" el a sorozatot, és veszem a maradék suprémumát, attól az még 0 lesz. "

Az az infémum :)

Egyébként tényleg arról van szó, amit 23:08 is írt. Ha egy társaságból távozik egy tag, akkor a

"társaság legmagasabb tagjának a magassága"

függvény értéke vagy csökken vagy változatlan marad, de sosem nő. Ezt hívjuk monoton csökkenésnek.