Oldd meg az egyenletet: 4cosx+3sinx=5 segítesz?

A megoldás egy általános elv/trükk ismerete nélkül nehéz, remélem, ismered.

Ha nem, akkor remélem, kb. világos, mi is történik:

Leosztod mindkét oldalt 5-tel:

0.8cosx+0.6sinx=1 lesz belőle.

A bal oldalon a 2 együttható: 0.8 és 0.6 bizonyos értelemben különleges, négyzetösszegük éppen 1.

0.64+0.36=1

Ez azt jelenti, hogy található olyan y szám (szög), aminek a szinusza épp 0.8, koszinusza pedig 0.6 .

/Ez a szög ugyanis éppen egy 3,4,5 oldalú derékszögű háromszög egyik hegyesszöge.../

Tehát sin y=0.8, cos y=0.6. Mellesleg erre van jelölés is, ez az y=arcsin 0.8 /'árkusz szinusz'/.

Ennek az egésznek az az értelme, hogy a bal oldalon álló kifejezést át tudjuk írni:

0.8cos x+0.6sin x=sin y * cos x + cos y * sin x = sin(x+y) alakba az addíciós képlet alapján /eddig tartott a lényegi trükk/.

Tehát az egyenlet az új alakban csak annyi, hogy sin(x+y)=1.

A szinusz csak a legritkább esetekben vesz fel 1-et értékül, csak a pi/2+k*pi helyeken. (Azaz ...-810,-630,-450,-270,-90,90,270,450,630,810,... fok esetén)

Tehát x+y=pi/2+k*pi, ahol k egész.

Tehát x= pi/2+k*pi-y= pi/2+k*pi/2-arcsin 0.8 az összes megoldás (k egész).

Persze hibás a vége, a szinusz csak pi/2+2*k*pi esetén lesz 1, azaz (-630,-270,90,450,810,...stb helyeken)

Így a helyes végeredmény: x=pi/2+2*k*pi-arcsin 0.8