Következik ebből? (matek, térgeometria,10. osztály)

Nem, nem következik, hogy a térfogatok is egyenlőek lennének.

Lehet mutatni ellenpéldát rá, de azt hiszem, hogy ez a feladat jelentősen meghaladja az átlagos tizedikes diáktól elvárható szintet.

/Ha érdekel az ellenpéldám, leírhatom, csak nem túl rövid számolással lehet igazolni, hogy valóban ellenpélda.../

Engem erdekelne ez az ellenpelda, mert sztem egyenlo kene legyen. Ha a tetraeder egyik oldalanak teruletet az elevel fejezed ki az: a^2*sqrt(3)/4.Legyen ez a t1. Ez egyenlo a t1'-el, de hogy a terfogatuk ne egyezen kene talalni egy b oldalt amely nem egyenlo a-val, de a uj szabalyos haromszog terulete mar egyeznie kene az eredetivel.

t1=t1'

a^2*sqrt(3)/4=b^2*sqrt(3)/4

a^2-b^2=0

(a-b)(a+b)=0

I. a=b, nem igaz.

II. a=-b, egyik oldal sem lehet negativ.

Mivel a terfogatot az el segitsegevel lehet kifejezni, ezert sztem a 2 terfogat egyenlo. Lehet, hogy hulyesegeket beszelek, vagy elrontottam valamit, ezert is szeretnem latni azt az ellenpeldat

Igen, spec.mat.-gyanús volt a feladat első ránézésre, mert kb. olyan szintű ismereteket igényel.

Az ellenpélda alapötlete az, hogy olyan tetraédert mutatunk, melynek oldalai egybevágó, de nem feltétlen szabályos háromszögek. Azaz az első tetraéder 6 oldaléle: a,a,b,b,c,c hosszúságú, a lapjai egybevágó: a,b,c oldalú háromszögek.

A második tetraéder oldalélei: a',a',b',b',c',c'.

Ezeket a legkönnyebb úgy elképzelni, hogy a bennfoglaló parallelepipedonjával adjuk meg őket. Nevezetesen az ilyen tetraéderek esetében ez mindig téglatest.

Ábra a könnyebb megértéshez és jelölésekhez:

[link]

Ekkor a téglatest oldaléleit x,y,z-vel jelölve kapjuk, hogy

a^2= x^2+z^2

b^2= y^2+z^2

c^2= x^2+y^2

A tetraéder térfogata xyz/3 lesz, ugyanis a teljes téglatestből ki kell vágnunk 4 kis derékszögű tetraédert, melyeknek egyenként xyz/6 a térfogata, ezért jön ki az 1-4/6=1/3 arány.

Tehát összefoglalva: az első tetraéder oldallapjai: a,b,c oldalú egybevágó háromszögek, területe xyz/3. Az x,y,z és a,b,c közti kapcsolatot írja le a fenti 3 egyenlet.

A tetraédert emiatt meg tudjuk adni egyértelműen az x,y,z hosszak segítségével is.

Az a,b,c oldalú háromszögek területe Héron-képlettel:

16T^2=-a^4-b^4-c^4+2a^2*b^2+2b^2*c^2+2a^2*c^2

Ha ebbe beírod az a^2=x^2+z^2 stb. értékeket, egyszerűbb alakra hozva kijön, hogy

16T^2=4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)

4T^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2

Tehát az x,y,z oldalú téglatestből legyártott tetraéder valamennyi lapjának a területe ugyanannyi

T=1/2*gyök(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)

Míg a tetraéder térfogata: V=xyz/3.

Tehát nincs más dolgunk, mint olyan x,y,z és x',y',z' oldalú téglatesteket megadni, amelyekre a T és T' értéke egyenlő, míg V és V' eltérő lesz,

4T^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2

4T'^2=x'^2*y'^2+y'^2*z'^2+z'^2*x'^2

V= xyz/3 V'=x'y'z'/3

Erre végtelen sok lehetőség van, például egy ilyen:

x=1,y=1,z=2----->4T^2=(1*1+1*4+1*4)=9--->T=3/2

x'=y'=z'=negyedikgyök3----->4T'^2=(3+3+3)=9----->T'=3/2

Azaz a területek mind egyenlőek.

Az első tetraéder térfogata: V=1*1*2/3=2/3

A második térfogata: V'=negyedikgyök3^3/3

Látható, hogy a két térfogat különböző.

/ha valamit elszámoltam, akkor elnézést kérek, de az elv, remélem, látszik/