Határozza meg a P(3;2) ponton átmenő egyenesnek az egyenletét, amely érinti az y=x^2-2 egyenletű parabolát! Ebben kéne segítség, egy ponton mindig megakadok. A tanár azt mondta szép egész számokat kéne kapni. Köszönöm. Segitetek?

Felteszem, hogy a segítség szó nem azt jelenti, hogy vki oldja meg helyetted.

Ennek tükrében kérdezném: hol akadtál el?

A parabolának van egy olyan tulajdonsága, hogy ha a (nem a szimmetriatengellyel párhuzamos) egyenes 1 pontban metszi a parabolát, akkor érinti.

Hogy milyen alakban keressük az egyenest, azt többféleképpen fel lehet írni; mivel az egyenes biztosan nem függőleges állású, ezért

y = m*x + b

alakban kereshetjük, ahol m és b megfelelően rögzített valós számok. Mivel az egyenes átmegy a (3;2) ponton, ezért:

2 = m*3 + b, ezt b-re rendezve a

2-3m = b összefüggést kapjuk, tehát az egyenest

y = m*x + 2 - 3m alakban keressük.

Ha metszéspontot keresünk, akkor az egyenleteket egyenletrendszerbe foglaljuk;

y = x^2 - 2 }

y = m*x + 2 - 3m }

Itt nem az a kérdés, hogy mik a metszéspontok, hanem az, hogy az m helyére milyen számot írjunk annak érdekében, hogy PONTOSAN 1 metszéspontjuk legyen. Tehát az m paraméterként viselkedik (egyébként a b is, csak az függ az m-től is).

Ha y helyére behelyettesítünk:

x^2 - 2 = m*x + 2 - 3m

Ez pedig egy egyismeretlenes másodfokú paraméteres egyenlet, amelyben az m-et kell úgy megválasztanunk, hogy egyetlen megoldása legyen. Ehhez elég a diszkriminánst vizsgálni.

Ha tudsz deriválni, akkor kicsit egyszerűbb a történet.

Hát ebből egész szám sehogy sem lesz. A megoldás tele lesz √5-tel…

Ráadasául mivel másodfokú egyenletre vezet a megoldás, ezért sejthető, hogy két egyenes is meg fog felelni a feltételeknek, tehát a válasznak nem egy, hanem két egyenletet is tartalmaznia kell.