Adottak A, B pontok a síkon és egy e egyenes. Hogyan szerkesszünk A-n, B-n átmenő, e-t érintő kört?

Ha az egyenes átmegy mindkét ponton, akkor sehogy.

Ha az egyenes csak az egyik ponton megy át (legyen ez az A), akkor viszonylag könnyű dolgunk van; állítsunk az egyenesre merőlegest az A pontban, erre a merőlegesre tükrözzük a B pontot, ez legyen C, majd az ABC háromszög köréírható körét kell csak megszerkesztenünk.

Ha az egyenes egyik egyenesen sem halad át, de az egyenes által meghatározott két félsíkon van az A és B pont, szintén nincs megoldás.

Ha a két pont ugyanazon a félsíkon van, akkor még gondolkodnom kell rajta. Az biztos, hogy az AB szakasz felező merőlegesére szükség lesz.

Ennyi adatból nem biztos, hogy megszerkeszthető. Ha pl. A és B az e egyenes átellenes oldalán van, akkor meg sem szerkeszthető.

Én első lépésként biztos felvenném az AB szakaszt, és megszerkeszteném a szakaszfelező merőlegesét, hiszen azon lesz rajta valahol a kör középpontja. A középpont egyenlő távolságra, sugárnyira lesz A-tól, B-től, és az e egyenestől is, hiszen az e érintőre merőleges a sugár. De hogy pontosan hol van a középpont, ennyi adatból nem határozható/szerkeszthető meg.

Először a megoldhatóság: Ha e metszi AB-t, akkor a feladatnak nincs megoldása. Másrészt ha van megoldás, akkor pontosan egy van, mivel két ponton át körsor vehető fel, ezek közül egy a keresett egyenest érintő kör. Ennek igazolása, hgoy egy kört egyértelműen meghatároz három pontja. Kettő ugye adott, a harmadik pedig az e-vel való érintési pont.

A megszerkesztéshez a pont körre vonatkozó hatványa kell. Felveszed az AB egyenest, enenk e-vel való metszéspontja P. Mivel PE^2=PA*PB, ezért PE szerkeszthető. Megvan az érintési pont. Innen merőlegest állítasz e-re, ahol ez AB felezőmerőlegesét metszi, ott a kör középpontja.

3: "Mivel PE^2=PA*PB, ezért PE szerkeszthető."

Ebből hogyan szerkeszted meg a PE hosszát mérés és számolás nélkül?

Illetve, valóban csak egy megoldás lehet? Mivel a P ponttól a PE távolság az e egyenesen két irányba is eshet, és a PE^2=PA*PB egyenlet mindkét esetben igaz lesz, nem?

A középpont rajta van a két pont felezőmerőlegesén. Másrészt a középpont egyenlő távolságra van az egyik ponttól és az eredeti egyenestől. Amely pontok egy parabolán vannak. Tehát a megoldás a felezőmerőleges egyenes és egy parabola metszéspontja.

Azt ugyan nem tudom meghatározni, hogy ebből hogyan lehet szerkeszteni, de a megoldások lehetséges száma kiderül.

Én azt nem értem, 3-as hogyan jut el onnan, hogy körzőnyílásba veszi PA-t ill. PB-t, oda, hogy PE-nyi nagyság lesz a körzőnyílásban, és azzal körívez P-ből mindkét irányba az e egyenesen.

Abban igaza van, hogy három pont egyértelműen meghatároz egy kört, de E pontból kettő is lehet (a P pont átellenes oldalain), így középpont is kettő lesz, ezért két különböző kör is megfelelne a leírásnak – hacsak P egybe nem esik E-vel, azaz A vagy B illeszkedik e-re (A=E vagy B=E), mely esetben a két kör egybeesik.

#6

"Én azt nem értem, 3-as hogyan jut el onnan, hogy körzőnyílásba veszi PA-t ill. PB-t, oda, hogy PE-nyi nagyság lesz a körzőnyílásban"

Ez jó kérdés.

Mivel ez a PE^2=PA*PB szabály általános érvényűnek tűnik, felvehetünk egy egyenest. Kijelölünk rajta egy P pontot, és A,B pontokat tőle PA és PB távolságra. Rajzolunk egy A-ra és B-re illeszkedő bármilyen kört és P-ből érintőt húzunk. Ezzel megkapjuk PE-t.

És igazad van, hogy ezt mindkét irányba fel kell mérni az eredeti egyenesünkre és többnyire 2 megoldás lesz.

Illetve nem is kell átvinni a távolságokat sehova. Hiszen már van A, B és P pontunk.

Csak rajzolunk egy A-ra és B-re illeszkedő bármilyen kört. P-ből érintőt húzunk. P középponttal kört rajzolunk az érintési ponton keresztül és az kimetszi az eredeti egyenesünkből a két E-t.