Valaki eltudja magyarázzni a nevezetes szorzatokat?

Nem tudom tananyag-e egyáltalán, de a binomiális tétel is ide tartozik

[link]

Arra vagy kíváncsi, hogy pl. az (a+b)² miért egyenlő a²+2ab+b²-tel? Hát azért, mert:

(a+b)² = (a+b)*(a+b) – ezután minden tagot minden taggal összeszorzunk:(a+b)*(a+b) = a*a + a*b + b*a + b*b – összevonás és hatványalakban felírás után valóban azt kapjuk, hogy:

a*a + a*b + b*a + b*b = a² + 2ab + b², tehát:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

Ugyanilyen módszerrel az összes többi nevezetes azonosság is levezethető.

Ha van egy olyan kifejezésed, hogy pl. (5x+3y)², akkor itt az 5x felel meg a képletben az a-nak, és a 3y a b-nek. A képletbe behelyettesítve:

a² + 2ab + b² = (5x)² + 2*5x*3y + (3y)² – itt fontos, hogy zárójelbe tedd az 5x-et és a 3y-t, mert a négyzetre emelés az 5-re és a 3-ra is vonatkozik, nem csak az x-re és az y-ra! Ezt elvégezve:

(5x)² + 2*5x*3y + (3y)² = 25x² + 30xy + 9y²

A nevezetes szorzat attól "nevezetes" hogy gyakori és fel kell tudni ismerni. Röviden betűkkel leírt összeadások és kivonások szorzatai/hatványai és azok felbontásának alakja.

Mint ismert a szorzásnál a zárójel felbontható: a(b+c)=ab + ac. Igazából ennyi, csak hatványokra: (a+b)^n vagy szorzatra ami nem hatvány: (a-b)(a+b)

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = (a+b)a +(a+b)b = (a^2 +ab) + (ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2

Olyan gyakran kell elvégezni a zárójelfelbontást hogy "illik" tudni ezeket, azaz "nevezetesek". És fordítva, sokszor szükségünk van szorzattá alakításra, ahhoz viszont tudnunk kell milyen tagokból áll össze a megalkotni kívánt szorzat.

(a-b)^n = (a + (-b))^n így (a-b)^2=(a+(-b))^2= a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab +b^2 Látszik hogy a kivonás nagyon hasonló alakú mint az összeadás így összevonva is le szokták írni:

(a +/- b)^2 = a^2 +/- 2ab + b^2

------------

Amit fontos látni hogy (a1 + a2 + ... ak)(b1 + b2 + ... bm) szorzat felbontása k*m tagú lesz összevonás nélkül, ahogy pl. (a+b)(a+b)-nél 2*2=4 tagú lesz: a^2, ab, ba, b^2 csak ebből ab és ba összevonható 2ab-vé.

Amit még fontos látni hogy (a1+...)(b1+...)(c1+...)...(x1+...) szorzat felbontását hogyan kell előállítani: minden zárójelből választunk egy tagot és összeszorozzuk, és az összes lehetséges kiválasztással egyszer megtesszük ezt, és az lesz a felbontás. pl. (a+b)(a+b)-nél. a és a = a^2, a és b=ab, b és a=ba, b és b = b^2

Az úgynevezett binomiális tétel kifejetetten(a+n)^n alakkal foglalkozik és a kiválasztással. n zárójelből k zárójelből az a-t választjuk, (n-k) zárójelből a b-ét.Így a^k*b^(n-k) alakot kapjuk, de hányszor? Hát ahányféleképpen ki lehet választani k-t n-ből ami pont annyi mint (n-k)-t n-ből. --> (n alatt k)