Adott egy ABC egyenlő szárú háromszög AB=AC, m_A a BC oldal felezőmerőlegese. Hogyan lehet igazolni, hogy A eleme az m_A-nak és hogy az m_A magasság is ?

Szerintem tükörszimmetriával.

Rajzoljunk egy-egy AB=AC sugarú kört B és C középponttal. A két kör (egyik) metszéspontja lesz A. B és C elhelyezkedése tükörszimmetrikus lesz m_A-ra. Ezért a két kör is. Ha a két kört áttükrözzük akkor az A' metszéspontjuk A tükörképe lesz. És mivel a tükrözés a köröket a másik körbe viszi át, ezért A=A'.

A két pont egymás tükörképe és egybeesik, ezért csak a tükörtengelyen lehetnek. Ha ezt bizonyítani kell, akkor indirekt módon lehet. Tegyük fel, hogy az egyik pont a tükörtengely egyik oldalán van. Beleértve a tengelyt is. A tükörképe a másik oldalon. A két pont egybeesik, ezért a két tartomány közös részében vannak.

Az m_A magasság: a két oldalán levő szög tükörkép. Ezért egyenlő és az értéke 180/2 fok.

"Hasonló háromszögekkel kellene a megoldás"

Húzzuk be a súlyvonalat. A keletkező két háromszög mindhárom oldala azonos hosszúságú, tehát a háromszögek egybevágóak. Ezért a súlyvonal talppontjánál levő szögek egyenlőek és a nagyságuk 180/2=90 fok.

Emiatt a súlyvonal egybe fog esni a felezőmerőlegessel és így a felezőmerőleges is tartalmazni fogja az A pontot.

És derékszög miatt a súlyvonal egyben magasságvonal is.