Sozozat határértékének megadása, küszöbindex meghatározása, hogyan?

Rosszul sejted. Ez a sorozat konvergens, határértéke 1.

Azért konvergens, mert a n^(-2)=1/n^2 határértéke 0.

A konvergenciának nem feltétele a monotonitás.

Szerintem kevered a fogalmakat. Attól, hogy a sorozat nem monoton, lehet konvergens, tipikus példa erre a sin(n)/n sorozat, ami össze-vissza ugrál, mégis konvergál a 0-hoz.

Az egyik lehetséges megközelítés, hogy a sorozatot két részsorozatra bontod;

a(n) =

{ 1 + 1/2^n, ha n páros

{ 1 - 1/2^n, ha n páratlan

Látható, hogy bármelyik részét nézzük a sorozatnak, 1-hez fog tartani, tehát a határérték 1 lesz. Ennek ismeretében a küszöbszámot már nem olyan nehéz meghatározni;

| 1 - (1 + (-1)^n/n^2) | < Epszilon, vagyis

| -(-1)^n/n^2) | < E, algebrailag megvizsgálva az abszolút értéket ezt kapjuk:

1/n^2 < E, innen gyök(1/E) < n adódik, tehát küszöbszámnak az N = [gyök(1/E)] + 1 jó lesz, ahol a [] az alsó egészrészt jelenti.

#2

Ez azt jelenti, hogy az 1/n^2-t egyszer hozzáadod 1-hez, egyszer kivonod belőle.

Itt (például) megnézheted a sorozat első néhány tagját:

[link]