Hogyan bizonyítom, hogy a racionális számok elemszáma végtelen?

Az alábbi premisszákat igaznak tekinthetjük:

(1) A természetes számok halmaza (N) végtelen számosságú.

(2) Minden egész szám racionális, ezért N részhalmaza a racionális számok halmazának.

(3) Minden halmaz legalább akkora számosságú, mint bármely részhalmaza.

Ezekből következik az állítás.

Az (1) az axióma, a (2) a definíciókon alapul, a (3) bizonyítandó, de tekinthetjük alapigazságnak.

Sokkal érdekesebb azonban az az állítás, hogy |N|=|Q|, hiszen látszólag "sokkal több" racionális szám van. Ugyanis bármely két egész szám között is végtelen sok van, sőt bármely kis szakaszon is végtelen sok van

Sőt, a racionális számok mindenütt sűrűen helyezkednek el, a természetes számok pedig véges távolságra egymástól.

Indirekt bizonyítás:

1. Tegyük fel, hogy véges számú racionális szám létezik.

2. Rendezzük ezt a véges elemszámú halmazt nagyság szerint.

3. A halmaz legnagyobb eleméhez adjunk 1-et: n/m+1=n/m+m/m=(n+m)/m racionális szám lesz.

4. Az így kapott racionális szám nagyobb a halmaz legnagyobb eleménél. Ezzel ellentmondásra jutottunk. Tehát a racionális számok halmaza nem lehet véges elemszámú.

Nekünk ezt úgy tanitották, hogy mivel a racionális számok felirhatók 2 egész szám hányadosaként, igy táblázatba lehet rendezni őket, az pedig megszámlálhatóan végtelen.

1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ... ∞

2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 ... ∞

3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 ... ∞

... ∞

Az előzőhöz:

Igen ám, de az ismétlődések száma is végtelen:

Pl. 3/4; 6/8; 9/12; ...

És ezek a végtelenek is végtelen sokan vannak.