A síkban meghúzunk néhány egyenest. Hogyan igazoljam, hogy az így keletkezett síkrészek minden esetben kiszínezhetők két színnel úgy, hogy két azonos színű résznek ne legyen közös oldala?

Teljes indukcióval.

1. Egy egyenes két oldala közül az egyik legyen (az egyszerűség kedvéért) piros, a másikon zöld.

2. Tegyük fel , hogy van már n egyenesünk és teljesül rájuk a feltétel. Húzunk még egy egyenest, amelyik egyetlen korábbi egyenessel sem azonos és váltsuk az egyik oldalán az összes terület színét ellentétesre.

A továbbiakban a következő szakaszokra (oldalakra) kell teljesülnie a feltételnek:

- az új egyenes szakaszai

- a színváltós oldalon levő szakaszok

- a másik oldalon levő szakaszok.

A további bizonyítás rád marad.

Tekintsük a páros oldalú szabályos sokszögeket, ezeknek húzzuk be a főátlóikat, amik egy pontban metszik egymást. A sokszöget így felosztottuk háromszögekre, amik kiszínezhetőek úgy, hogy szomszédos részek nem lesznek azonos színűek. Ugyanez páratlan esetben nem valósul meg.

Most húzzunk a síkra valamennyi tetszőleges állású egyenest, és ezeknek vizsgáljuk a pontjait. Ha egy olyan pontot választunk, ami nem két/több egyenes metszéspontja, akkor ehhez a ponthoz 2 tartomány "tartozik", ezeket lehet színezni megfelelően. Ha egyenesek metszéspontját nézzük, akkor mindig az látható, hogy a ponthoz tartozó tartományok száma mindig páros, tehát "körbe" lehet úgy színezni, mint ahogy azt az elején tárgyaltuk.

Ezzel megmutattuk, hogy mindig lehet jól színezni két színnel.

"Ugyanez páratlan esetben nem valósul meg."

Azért, mert a páratlan csúcsszámú szabályos sokszögeknek nincsenek főátlói?

"Tekintsük a páros oldalú szabályos sokszögeket"

És mit bizonyít ez a szabálytalanul húzott egyenesek esetére?

"Ha egyenesek metszéspontját nézzük, akkor mindig az látható, hogy a ponthoz tartozó tartományok száma mindig páros, tehát "körbe" lehet úgy színezni, mint ahogy azt az elején tárgyaltuk."

De mi a helyzet azzal, hogy a pontokat elkezdjük színezni és a színezett területek egyszercsak összeérnek? Ott mi biztosítja, hogy a találkozó színek különbözőek lesznek?

Nem személyesen akarok kötözködni, csak a bizonyításod esetleges hibáira rámutatni. :-)