Hogy kell ezt a matekfeladatot kiszámolni?

Kellene tudni, hogy eddig mit tanultál a témában.

Ha a láncszabályt nem ismered, akkor bontsd ki a zárójelet:

(2x-1)^4 = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x + 1, majd ezt tudod deriválni tagonként:

()' = 64x^3 - 96x^2 + 48x - 8

Ha tanultad a láncszabályt, akkor a deriválás így néz ki:

((2x-1)^4)' = 4*(2x-1)^3 * (2x-1)' = 4*(2x-1)^3 * 2 = 8*(2x-1)^3, ha ezt a zárójelet kibontod, akkor az előbbi deriváltat fogod kapni.

Akárhogy is, a deriváltba behelyettesíted x helyére az 1-et, majd elvégzed a műveleteket. Ez egy kicsit egyszerűbb a második módon kapott deriválttal, mert ott kevesebb a művelet, de igazából mindegy. Behelyettesítés után 8-at kapunk eredményül, ez lesz az érintő egyenes meredeksége.

Helyettesítsük be az eredeti függvényben is az x helyére az 1-et, ekkor a függvényérték 1 lesz, tehát a függvény P(1;1) pontjába kell nekünk érintőt húznunk.

A feladat innentől középiskolai tudással megoldható; adott a P(1;1) pont, valamint egy egyenes, melynek meredeksége 8, kérdés, hogy melyik ez az egyenes.

Ha az egyenest y=m*x+b alakban keressük, akkor a betűk helyére helyettesítsünk be;

1 = 8*1+b, ennek megoldása b=-7, vagyis a keresett egyenes függvénye: y=8*x-7.

Végeredmény ellenőrzés WolframAlphával:

[link]

Kellene tudni, hogy eddig mit tanultál a témában…

Lehet úgy is, hogy paraméteresen felírod a görbe adott pontján áthaladó egyenesek egyenletét, és aztán az adott pontban egyenlővé teszed az egyenes meg a függvényértékét. Az egyenes a paraméternek arra az értékére fogja érinteni a függvényt, aminél kétszeres gyöke lesz az így kapott egyenletnek.

Ezt egy olyan trükkel lehet egyszerűen megcsinálni, hogy elemi függvénytranszformációkkal a 0-ba toljuk a kérdéses pontot – ami ugye most az (x0, f(x0)) = (1, 1), tehát az

y = f(x + 1) – 1 = g(x) = (2*(x + 1) – 1)^4 – 1 = (2*x + 1)^4 – 1

függvényt vizsgáljuk a (0, 0)-ban, a (0, 0)-n átmenő egyenesek egyenlete y = m*x alakú, így azt szeretnénk tudni, hogy az m milyen értékére lesz a

(2*x + 1)^4 – 1 = m*x

egyenletnek kétszeres gyöke a 0-ban. Az is világos, hogy ez a gyök nem lehet más, mint az x = 0, mert különben nem az origóbeli érintőt kapnánk. Kifejtve:

16*x^4 + 32*x^3 + 24*x^2 + 8*x = m*x,

és itt csak látszik, hogy m-et 8-nak választva és kivonva az egyenletből egy olyan kifejezést kapunk, amiből ki lehet emelni x*x-et:

16*x^4 + 32*x^3 + 24*x^2 + 8*x – 8*x = x*x*(16*x^2 + 32*x + 24).

Tehát az érintő meredeksége 8 kell legyen.

Innen vagy vagy befejezzük úgy, ahogy a 00:18-as válaszadó teszi, hogy keresi az (1, 1) ponton áthaladó 8 meredekségű egyenest, vagy visszatoljuk az

y = h(x) = 8*x

függvényt elemi függvénytranszformációkkal, és kapjuk a kérdéses egyenes egyenletét:

y = k(x) = h(x – 1) + 1 = 8*(x – 1) + 1 = 8*x – 7,

y = 8*x – 7.