Adott a p=(-3)^(2n+1)*(-2)^(4m+3)*(-1)^(n^2+7n)*(-321)^(n^2+m^2+n+m) szám, ahol m,n természtes számok. Vezesd le milyen lesz a p szám előjele?

Mivel ez egy szorzat, ezért az előjelet csak a tagok előjele befolyásolja, így ennek a kifejezésnek az előjele ugyanaz, mint annak, amit úgy kapunk, hogy az alapokat –1-re cseréljük:

(–1)^(2*n + 1)*(–1)^(4*m + 3)*(–1)^(n^2 + 7*n)*(–1)^(n^2 + m^2 + n + m).

Ebből az első két tényezőt elhagyhatjuk, mert mindkettőben páratlanadik hatványon szerepel a (–1), így a kettő szorzata (–1)*(–1) = 1 lesz, az utolsó két tényezőre pedig alkalmazhatjuk az azonos alapokról szóló azonosságát a hatványozásnak, így az marad, hogy

(–1)^(2*n^2 + m^2 + 8*n + m),

ahol a kitevőben az n-es tagok összege páros hatványon szerepel, így elhagyhatjuk, és már csak a

(–1)^(m^2 + m)

előjelét kell vizsgálnunk, de ugye ha m páros, akkor ez pozitív lesz, és ha m páratlan, akkor is, mert akkor m^2 is páratlan lesz, és két páratlan szám összege páros.

Kicsit más megközelítésben;

Az első két tényező szorzata mindenképp pozitív lesz, ahogy már írták.

A harmadik tényező kitevőjében ezt az átalakítást tudjuk meglépni:

n^2+7n = n*(n+7)

Azt látjuk, hogy ebben az esetben mindig egy egész számot szorzunk egy nála 7-tel nagyobb számmal. Ezen számok közül az egyik biztosan páros lesz, tehát a szorzat értéke biztosan páros, így a hatvány előjele pozitív lesz.

Az utolsónál is tudjuk ezt a taktikát követni;

n^2+n = n*(n+1), itt is az egyik biztosan páros,

m^2+m = m*(m+1), itt is.

Páros + páros = páros, tehát a kitevő előjele biztosan páros, így a hatvány előjele pozitív.

Tehát a szorzások elvégzése után az előjel mindenképp pozitív lesz.

Azt kell nézni, hogy a kitevők párosak vagy páratlanok:

(2n+1) - páratlan

(4m+3) - páratlan

(n^2+7n) - páros

(n^2+n) - páros

(m^2+m) - páros

Kedves 4!

Nem minden esetben van úgy, ahogy írod...