Adott az A={(2^x)*(5^y)*(7^z), ahol x,y,z természetes számok és x<=12, y<=12, z<=12} halmaz. Hány darab nulla számjegyben végződik az A halmaz elemeinek szorzata? Miért?

bocsánat, 70^12*

12 db nulla.

Akkor fog 0-ra végződni, hogyha osztható 10-zel, az meg akkor van, amikor osztható 5-tel és 2-vel. Ahány 0-ra végződik, annyiszor osztható kell, hogy legyen 10-zel, így (legalább) annyiszor kell oszható legyen 2-vel és 5-tel.

Nézzük meg, hogy a számokban hány darab 2-es, illetve 5-ös szorzótényezőt tudunk megtalálni;

1. eset: az adott szám 1 darab 5-ös szorzótényezőt tartalmaz, vagyis y=1. A másik két szorzótényező kitevője 13-féle lehet (feltételezve, hogy a 0 is természetes számnak minősül), vagyis 13*13=169 olyan szám van, amelyik 1 darab 5-ös szorzótényezőt tartalmaz.

2. eset: az adott szám 2 darab 5-ös szorzótényezőt tartalmaz, vagyis y=2. Gyakorlatilag ugyanaz a felállás, mint az előbb, tehát 13*13=169 olyan szám van, amelynek prímtényezős felbontásában 2 darab 5-ös található.

Innen már nem nehéz rájönni, hogy mit kell kiszámolnunk az esetek végigsorolása után;

169*(1+2+...+12) = 13182

Tehát összesen 13182-ször osztható 5-tel a halmazban lévő számok szorzata.

Ha ugyanezt végiggondoljuk a 2-esekere is, akkor könnyen észrevehetjük, hogy mindent pont ugyanúgy kell csinálnunk, mint az előbb, csak a -2esekre, így tehát a szorzat 13182-ször lesz osztható 2-vel.

Így viszont 13182-ször lesz osztható 10-zel a szorzat, vagyis 13182 darab 0-t tartalmaz a végén.

Ha a feladat a 0-t nem tekinti természetes számnak, akkor annyi a változás, hogy a 13*13 helyett 12*12 lesz, ami 144, így:

144*(1+2+...+12) = 5616, tehát 5616 darab 0-ra fog végződni a szorzat.