Legyen n egy olyan term sz, amelynek 11-gyel való osztási maradéka 2, és 7-tel való osztási maradéka 3. Mennyi az n term.számnak 77-tel való osztási maradéka? Hány olyan 2023-nál kisebb n term. szám van, amelyre fennáll az adott feltétel?

Tehát n felírható 11k+2 és 7t+3 alakban is, ahol k és t nemnegatív egészek. Mivel ugyanazt a számot keressük mindkét esetben, ezért ezek egyenlőek:

11k + 2 = 7t + 3, rendezés után

(11k - 1)/7 = t

Mivel t egész, ezért a törtnek is egésznek kell lennie. Mivel nincs sok lehetőség, megtehetjük azt, hogy k helyére 0-tól 6-ig egész számokat írunk, és megnézzük, hogy mikor lesz egész, ez k=2 esetén lesz így, más esetben nem. Ha k helyére 6-nál nagyobb számot írunk, akkor a következő jó szám a k=9 lesz. Aztán a k=16, a k=23, és így tovább, tehát mindig 7-tel nagyobb a soron következő szám. Általánosságban azt mondhatjuk, hogy ha k=7s+2 alakú, ahol s nemnegatív egész, akkor (és csak akkor) k helyére megfelelő szám kerül, és így t értékét is megkapjuk.

Innentől már csak az a kérdés, hogy s helyére milyen számok írhatóak, hogy végül egy 2023-nál kisebb pozitív egészet kapjunk.

11-gyel való osztási maradéka 2, így a szóba jöhető 77-es maradékok:

{2, 13, 24, 35, 46, 57, 68}

7-tel való osztási maradéka 3, így a szóba jöhető 77-es maradékok:

{3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73}

A két halmaz metszete: {24}

Így a 77-es osztási maradék: 24.